Convergences de la série de Fourier

[invite727dc7fd]

Bonjour à tous!

J'ai des problèmes concernant les hypothèses pour les différentes convergences de la série de Fourier...
Je vais donc tenter d'énoncer les théorèmes, et je vous serai reconnaissant de me corriger si je me plante...

Si f est une fonction continue 2Pi périodique,
alors d'après le théorème de Parseval, la série de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f.

Si f est une fonction continue 2Pi périodique ET de classe C1 par morceaux,
alors la série de Fourier de f converge normalement vers f.

Si f est une fonction 2Pi périodique ET de classe C1 par morceaux,
alors d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement vers la régularisée de f.

Me gourre-je?

Merci d'avance!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si f est une fonction continue 2Pi périodique,
alors d'après le théorème de Parseval, la série de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f.

La continuité de f n'est pas nécessaire.

Si f est une fonction continue 2Pi périodique ET de classe C1 par morceaux,
alors la série de Fourier de f converge normalement vers f.

Si f est une fonction 2Pi périodique ET de classe C1 par morceaux,
alors d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement vers la régularisée de f.

Ces énoncés-là sont corrects.

[invite727dc7fd]

Merci beaucoup!

[invite727dc7fd]

Je suis désolé, mais je vais insister pour les conditions d'application du théorème de Parseval.
Dans mon cours, j'ai noté qu'il fallait que la fonction soit continue 2Pi-périodique, sur un aide mémoire de Maths. Spé. MP, il est indiqué que f doit être continue par morceaux sur R et 2Pi-périodique, et enfin Wikipedia dit :

On suppose que f est T-périodique et de carré intégrable (c'est donc valable notamment pour f continue par morceaux).

Je suis un peu perdu dans tout ça moi. La seule chose, c'est que si Wikipedia dit juste, alors les deux autres propositions ne sont pas fausses ...

Merci de vos lumières encore une fois!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tous les énoncés que tu as trouvés sont corrects, avec des hypothèses différentes.
Grosso modo, la formule de Parseval se trouve être vraie pour toute fonction à laquelle tu peux associer une série de Fourier. Tout dépend du cadre dans lequel ton cours a défini les séries de Fourier.

[invite727dc7fd]

Ok merci encore God's Breath

[invite4ef352d8]

Salut !

ton bouquin rajoute l'hypothèse continue par morceaux car en Spé on intègre que des fonctions continu par morceaux ! du coup on ne peut pas définir rigoureusement la série de fourrier d'une fonction qui n'est pas continue par morcaux.


la convergence quadratique n'est ceci dit à mon avi pas vrai sans autre hypothèse que l'intégrabilité, Mais en réalité la seul hypothèse nécessaire pour que la série de fourier converge en moyenne quadratique, c'est que la fonction soit mesurable et que l'intégral de |f|² soit fini (ce qui implique entre autre que f est intégrable...). par exemple ca n'aurait pas de sens de parler de convergence quadratique de la série de fourier de 1/sqrt(x) : on peut définir la série de fourier, mais pas la norme 2 de la différence, mais comme le dit God's breath meme dans ce cas la Formule de parseval reste dans un certain sens vrai : elle donnera une série divergente d'un coté et une intégral infini de l'autre...