espaces de suites

[invite769a1844]

Bonjour,

je bloque sur cet exercice:

Dans l'espace S de toutes les suites réelles, on considère les vecteurs définis par et si .

On considère le sous-espace de constitué des suites tendant vers 0, muni de la norme induite .
On note le dual topologique de .

Pour tout et , on pose où .


(a) Montrer que . Calculer et . En déduire que .

J'ai dit que pour un entier , le -ième terme de la suite est nul, donc est une suite de réels qui converge vers 0, d'où .

Ensuite par définition (car la est nulle à partir du ème rang), ce qui est encore égal à par définition des après je ne vois pas comment poursuivre ?

Après pour le calcul de , je trouve: .

Pour montrer que , je ne vois pas comment procéder.

Merci pour votre aide.
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[invite35452583]

Ton expression de est quelque peu bizarroïde.
Personnellement j'aboutis à :

Maintenant, ta définition de sgn semble peu adaptée au problème. Es-tu sûr que ce n'est pas plutôt :

Dans ce cas on a sgn(t)t=ltl et .(*)

Cette définition permet aussi de finir de manière plus élégante comme étant égal à 1 si x_f,N est non nul =0 sinon.
Même sans modification de la définition, on a

Revenons à (*), on a le début de la norme l₁ de la suite (f(e⁽ⁿ⁾)). Or, f continue implique une majoration de celle-ci (je te laisse trouver pourquoi, je pense en avoir assez dit.)

[invite769a1844]

Ton expression de est quelque peu bizarroïde.
Personnellement j'aboutis à :

Oui je me suis un peu foiré en tapant, c'est bien le résutat que j'ai trouvé.

Maintenant, ta définition de sgn semble peu adaptée au problème. Es-tu sûr que ce n'est pas plutôt :

Dans ce cas on a sgn(t)t=ltl et .(*)

ah peut-être il y a une coquille dans l'énoncé, je vais prendre ta définition, ça me parait plus clair

Cette définition permet aussi de finir de manière plus élégante comme étant égal à 1 si x_f,N est non nul =0 sinon.
Même sans modification de la définition, on a

Revenons à (*), on a le début de la norme l₁ de la suite (f(e⁽ⁿ⁾)). Or, f continue implique une majoration de celle-ci (je te laisse trouver pourquoi, je pense en avoir assez dit.)

ok je pense avoir compris, Pour tout entier , on a

.

Ainsi converge, d'où .

Merci Homotopie.

[invite769a1844]

Pour la question suivante:

(b) Montrer que l'application est une bijection linéaire de sur (i.e. on peut "identifier" et ).
Calculer la norme de dans .

J'ai montré que est une bijection linéaire. Ensuite je ne vois pas comment montrer que est continue.

J'ai montré aussi que si , alors ,
mais je ne vois pas non plus comment déterminer la norme de

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Pour la question suivante:

(b) Montrer que l'application est une bijection linéaire de sur (i.e. on peut "identifier" et ).

Pardon je voulais dire l'application est une bijection linéaire de sur

J'ai montré aussi que si , alors

je voulais dire que