Limite en zéro

[invitefd0e1b49]

Salut tout le monde

C'est probablement très simple mais je ne parviens pas à calculer :

Enfin ça donne 0, mais comment le montrer proprement ?
Je pense en utilisant les équivalents mais je ne vois pas comment.

C'est certainement très simple mais j'ai du mal là.

Merci d'avance pour votre aide.
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[Flyingsquirrel]

Salut

En factorisant le numérateur par tu peux faire apparaître le taux d'accroissement en 0 d'une fonction dont tu es capable de calculer la dérivée.

EDIT: Sinon un développement limité parce que les sommes d'équivalents c'est pas génial. (je n'avais pas vu que la question était posée dans "Mathématiques du supérieur" )

[Calvert]

Salut!

Un p'tit coup de l'Hospital devrait marcher:

[invitefd0e1b49]

Salut

En factorisant le numérateur par tu peux faire apparaître le taux d'accroissement en 0 d'une fonction dont tu es capable de calculer la dérivée.

EDIT: Sinon un développement limité parce que les sommes d'équivalents c'est pas génial. (je n'avais pas vu que la question était posée dans "Mathématiques du supérieur" )

En effet, en factorisant par c'est totalement trivial.
Merci à toi.

Calvert, merci également mais la méthode de Flyingsquirrel est plus immédiate

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb36430b8]

Ou tout simplement, comme tu l'a souligné, en utilisant des équivalents.

Proche de 0, exp(x) est équivalent à 1+x, soit :

exp(-4x²) éq. à 1-4x² et
exp(-x²) éq. à 1-x²

Cela dit, le calcul est fini puisque ta fonction est équivalente à :

[ (1-4x²) - (1-x²) ] /x = -3x² / x = -3x

Cela tend, évidemment vers 0- quand x--> 0+ et 0+ quand x--> 0-.

a++

[Flyingsquirrel]

Sauf que faire des sommes d'équivalents est interdit et permet de conclure n'importe quoi :

En 0 : et
donc ?

Alors qu'avec les DL (toujours en 0) : et
donc
Cette méthode est valide, celle avec la somme d'équivalent ne l'est pas.
Dans ton cas, il suffit de rajouter à chaque équivalent et le résultat sera correcte...

[inviteb36430b8]

ok, j'avais oublié ces subtilités, merci de l'avoir fait remarquer !

[inviteb36430b8]

je suppose que tu voulais mettre le o(x^5) sur le sinus et non l'autre terme ?

Et comment savoir jusqu'à quel ordre il faut aller, s'arrêter ?

[Flyingsquirrel]

je suppose que tu voulais mettre le o(x^5) sur le sinus et non l'autre terme ?

Je voulais le mettre aux deux, merci de la correction.

Et comment savoir jusqu'à quel ordre il faut aller, s'arrêter ?

Il faut choisir l'ordre pour que le DL final contienne au moins un terme non nul :

Pour , on regarde d'abord ce que donne le DL à l'ordre 0 de la fraction. Pour cela, il faut développer le numérateur à l'ordre 3 à cause du au dénominateur. On constate que le DL du numérateur à cet ordre est nul. On passe donc à l'ordre suivant : ordre 1 pour la fraction soit 4 pour le numérateur. Comme le coefficient de du DL du numérateur est également nul, ça ne va toujours pas. On passe à l'ordre suivant, on obtient enfin un terme non nul et on peut conclure.