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espaces de Hilbert



  1. #1
    rhomuald

    espaces de Hilbert


    ------

    Bonsoir,

    je bloque sur ce problème:

    Soit un -espace préhilbertien.
    On note l'espace vectoriel des suites de Cauchy de , l'espace vectoriel des suites convergeant vers .
    On considère ensuite l'espace vectoriel quotient .

    Je voudrais montrer que induit un produit scalaire sur .

    Je pensais utiliser le produit scalaire ,

    mais je n'arrive pas à montrer qu'il est bien défini, en particulier pourquoi converge dans .

    Merci pour votre aide.

    -----

  2. #2
    ThSQ

    Re : espaces de Hilbert

    Salut,

    J'imagine que tu as vu le complété d'un espace métrique !

    Reste à montrer qu'on peut étendre le produit scalaire au complété. Le plus simple est surement d'utiliser l'équation du parallélogramme qui est diagnostique d'un produit scalaire.

  3. #3
    rhomuald

    Re : espaces de Hilbert

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    Salut,

    J'imagine que tu as vu le complété d'un espace métrique !

    Reste à montrer qu'on peut étendre le produit scalaire au complété. Le plus simple est surement d'utiliser l'équation du parallélogramme qui est diagnostique d'un produit scalaire.
    Ah oui effectivement, ça marche nickel

    Merci.

  4. #4
    rhomuald

    Re : espaces de Hilbert

    Soit une isométrie de dans un sous-espace dense .

    Prouver qu'il existe une unique isométrie telle que: .

    Pour l'unicité c'est ok, mais pour l'existence je vois pas

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : espaces de Hilbert

    Ce sont des espaces métriques (un peu fatal pour avoir une isométrie) donc tu peux passer par les suites :
    où (xn) est une suite d'éléments de F qui tend vers x. c'est bien défini car la suite j(xn) est de Cauchy car j est une isométrie.
    "Il n'y a plus qu'à" vérifier que l'on définit bien une isométrie.

  7. #6
    rhomuald

    Re : espaces de Hilbert

    d'accord, j'ai compris maintenant,

    merci homotopie.

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