Calcul Différentiel

[invitede8302a1]

Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
soit F définie du plan R2 (muni du produit scalaire <> usuel) dans R.
F(X) = <alpha, X> - (1/p)*(norme(X))^p où alpha est dans R*x R*.
Montrer qu'il existe un unique X0 dans R2 tel que on ait DF(X0).(.) = 0
Je donc posé le gradient = 0. J'ai obtenu après calcul (ça j'en suis sûr!) :
avec X0 = (x0_1, x0_2)
(x0_1² + x0_2²)^(p-1) = alpha1² + alpha2² où (alpha = (alpha1, alpha2) )
que je n'arrive pas à résoudre...
De plus pour garantir l'existence et l'unicité, je me demande s'il ne faut pas utiliser un théorème, bref je ne vois pas du tout.

Voilà, merci!
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[invitede8302a1]

Svp!! Mes examens approchent !!

[invitea29d1598]

salut,

sans faire le moindre calcul, j'aurais tendance à penser que ton truc se simplifiera énormément si tu introduis des "composantes polaires" sur R^2 [avec évidemment les précautions adaptées pour définir ta fonction en r=0]. Tu auras alors la norme qui sera directement une de tes variables et le produit scalaire qui aura une expression très simple en fonction de celle-ci et de l'angle entre les deux vecteurs [celui qui varie et ton vecteur alpha]. Après, pour revenir au problème de départ avec "composantes cartésiennes", y'aura plus qu'à justifier deux-trois inversions de fonctions...

[invitede8302a1]

Déjà je te remercie sincèrement Rincevent de me répondre!
Je t'avoue que ce n'est pas très clair pour moi.
A partir de l'équation cartésienne que j'ai trouvée, en faisant des inversions de fonctions, je trouve la valeur du module de v0 et donc l'angle est quelconque, donc le vo n'est pas unique... (en fait je n'ai qu'une équation à deux inconnues...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

salut,

A partir de l'équation cartésienne que j'ai trouvée(...) (en fait je n'ai qu'une équation à deux inconnues...)

je ne m'étais pas attardé sur ce que tu avais écrit car j'avais supposé que c'était juste ta façon de présenter le truc qui était ambigüe, mais j'ai peur qu'il y est un truc qui t'ait échappé... Donc, je reprends : normalement tu as bel et bien deux équations indépendantes car dire que la différentielle est nulle signifie (ici) que le "vecteur gradient" est nul, ou de manière équivalente que ses deux composantes le sont. Si tu regardes la tête de la fonction dont tu dois prendre des dérivées partielles pour obtenir les deux composantes indépendantes, tu vois tout de suite qu'en "coordonnées cartésiennes", ça va te donner deux équations où les deux variables seront fortement couplées, d'où ma suggestion d'introduire des coordonnées polaires.

Mais que tu le fasses ou pas, tu as deux équations indépendantes du genre et .


L'équation que tu as écrit peut s'obtenir à partir de ces deux équations indépendantes, mais ce sont ces dernières qui sont réellement "fondamentales" dans ce problème et que tu dois résoudre.

[invitede8302a1]

Ok merci beaucoup Rincevent, j'ai réussi à trouver!
Maintenant, dans la question suivante, on demande si la fonction F admet un maximum local, puis global.
Je pense que la fonction est concave comme somme d'une fonction linéaire et de l'opposé d'une fonction (norme puissance p avec p>1) convexe.
Ce qui permet de résoudre directement car R2 est convexe.

- Mais comment démontrer que (norme(v))^p est convexe ?
Je l'ai différentiée deux fois, mais sans résultat !

- Plus généralement, j'aimerais savoir, à peu près, quelles sont toutes les fonctions convexes "types" de R2 dans R ?

[invitede8302a1]

Si jamais vous en voyez trop de fonctions convexes, m'en donner quelques unes serait vraiment cool!!
Merci!