Applications
Bonjour à tous,
Voici mon petit problème :
oit f une application definie sur R+ à valeur dans R, derivable sur R+. On suppose f' srtictement decroissante sur R+, et que pour tout x appartenant à R+, f'(x) est positive ou nulle.
je dois demontrer que quelque soit x appartenant à [1,+inf[, f(x+1)-f(x)<f'(x)<f(x)-f(x-1) à l'aide du théorème des accroissements finis.
Pour cela j'ai procédé de la facon suivante :
f '(x+1)<f 'x)<f '(x-1)
Donc d'après le théorème des accroisements finis :
f '(x+1)=(f (x+1)-f (x))/(x+1-x)=f(x+1)-f(x)
Or f '(x+1)<f '(x) donc f(x+1)-f(x)<f '(x)
de même f '(x-1)=(f(x)-f(x-1))/(x-x+1)=f(x)-f(x-1)
or f '(x)< f '(x-1) donc f '(x)<f(x)-f(x-1)
Cette 1ere partie est elle correcte?
Ensuite :
Soit (Un) la suite definie par quelque soit n appartenant à N*, Un= somme(k=1 à n)f'(k).
Monter que la suite Un converge si et seulement si il existe un réel l tel que : lim (x->+inf)= l
Il sera utile de demontrer que pour toute fonction f croissante et continue sur R+, la suite (f(n))n appartenant à N converge si et seulement si f a une limite en + infini.
Pour cela j'ai calculer U(n+1)-U(n) et j'ai trouver que c'était égal à f '(n+1) or comme f '(x)>0 alors f '(x+1)>0 on a ainsi U(n+1)>U(n). Donc U(n) est strictement croissante et continu.
ensuite si lim(+inf)f(x)=l, alors f est majorée par l donc Un est majorée par l. Or toute fonction croissante et majorée converge, donc Un converge.
Est ce correct aussi?
Merci pour votre avis et votre aide ( et pour le temps que vous prenez àlire ceci ^^)
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Envoyé par magnatik 