Anneau unitaire (ou pas)

[invitebb921944]

Bonjour,

Le très joli théorème de Jacobson nous dit :
Si est un anneau pour lequel pour tout , il existe un entier (dépendant de a) tel que alors est commutatif.

Or dans la démonstration, il montre tout d'abord que est semisimple, i.e. que son radical de Jacobson est nul.
Pour celà, ils écrivent :

Soit . On a , d'où . Or comme est un élément du radical de Jacobson, aussi et donc est inversible par un résultat classique. Cela me parait tout à fait légitime dans le cadre ou est unitaire mais comment parler d'élément inversible dans notre cas où l'on ne suppose rien sur ? (pour la petite précision ils écrivent " is formally invertible").
Peut-être est il nécessairement unitaire de par l'hypothèse du théorème ?
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[invite57a1e779]

Cela me parait tout à fait légitime dans le cadre ou est unitaire mais comment parler d'élément inversible dans notre cas où l'on ne suppose rien sur ? (pour la petite précision ils écrivent " is formally invertible").
Peut-être est il nécessairement unitaire de par l'hypothèse du théorème ?

Il doit suffire de faire momentanément les calculs dans l'anneau unitaire engendré par .

[invitebb921944]

J'imagine que tu voulais dire par 1 non ?
Merci pour ta réponse !

[invitebe0cd90e]

J'imagine que tu voulais dire par 1 non ?
Merci pour ta réponse !

Non, c'est bien par A Si A ne contient pas d'unité, alors il existe un plus petit anneau qui contient A et qui possede une unité, et c'est simplement l'anneau unitaire engendré par A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Ah d'accord je n'en avais jamais entendu parler.
Merci à vous deux. (en fait j'suis bête c'est évident)

[invitebe0cd90e]

Oui, c'est toujours la meme histoire en algèbre, si un ensemble n'a pas assez de structure a ton gout, suffit de le plonger dans le plus petit truc qui le contient et qui a la bonne structure... Les exemples de ce genre de manips sont frequents, rien de bien sorcier donc

[invite57a1e779]

Effectivement, je parle bien d'un anneau unitaire dans lequel est plongé , on peut le réaliser en munissant le groupe produit de la multiplication

pour laquelle est l'élément unité, et dans lequel se plonge naturellement par .