suite suite

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 15h27

bonjour,
je dois étudier la convergence des suites suivante:

Un = Somme (k=1 à n) 1/(1+K²) et Vn= somme (k=1 à n) 1/racine carré(1+k)

j'ai remarquer que Un equivaut à Un=somme(k=1 à n)arctan(k) mais je ne vois pas comment me debrouilelr ensuite.

Par contre pour Vn je ne vois rien du tout.

quelqu'un pourrait til m'eclaircir?

**Flyingsquirrel** · 04/05/2008, 15h44

Salut

Envoyé par magnatik

j'ai remarquer que Un equivaut à Un=somme(k=1 à n)arctan(k) mais je ne vois pas comment me debrouilelr ensuite.

il y a une primitive qui intervient : $\text{[math]}$ ou alors c'est $\text{[math]}$ en l'infini. (si c'est ça c'est gagné, non ?)

Sinon, une autre piste :

Cliquez pour afficher

(Je suppose que tu n'as pas encore étudié les séries ?)

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 17h03

ba Un=somme(k=1 à n) de 1/(1+k²)
Or 1/(1+k²)=arctan'(k)
donc il y aurait peut être quelquechose a en tirer....
Sinon je ne comprend pas ta piste "utiliser l'inégalité de la moyenne pour majorer la suite". queveut tu dire par la....
Et pour Vn tu ne voit rien?

**Flyingsquirrel** · 04/05/2008, 17h21

Envoyé par magnatik

ba Un=somme(k=1 à n) de 1/(1+k²)
Or 1/(1+k²)=arctan'(k)
donc il y aurait peut être quelquechose a en tirer....

Dans ton premier post, il n'y pas de prime à $\text{[math]}$ , d'où ma remarque.

Sinon je ne comprend pas ta piste "utiliser l'inégalité de la moyenne pour majorer la suite". queveut tu dire par la....

La fonction $\text{[math]}$ est décroissante pour $\text{[math]}$ . Si tu lui appliques l'inégalité de la moyenne entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , tu dois pouvoir en déduire une majoration de $\text{[math]}$ .

Et pour Vn tu ne voit rien?

La même idée peut s'appliquer.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 18h47

désolé mais je ne comprend pas cette idée de majorationde la moyenne et de majorationde la suite....

**Flyingsquirrel** · 04/05/2008, 19h06

L'inégalité de la moyenne te dit que si $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ et si $\text{[math]}$ est un minorant de f sur cet intervalle, $\text{[math]}$ . Appliques cela avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Ça devrait s'éclaircir.

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 19h32

j'obtient arctan(k+1)-arctan(k)>1/(1+(1+k)²)....
mais je ne vois pas quoi en deduire....
désolé d'etre si exigeant ^^

**Flyingsquirrel** · 04/05/2008, 19h52

Le but est de majorer la somme $\text{[math]}$ . Comme on a $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ au dénominateur et pas $\text{[math]}$

), il te suffit de sommer toutes ces inégalités pour $\text{[math]}$ allant de 0 à $\text{[math]}$ . (à cause du $\text{[math]}$ au dénominateur justement) Tu pourras ensuite conclure sur la convergence de la somme par comparaison.

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 20h15

d'accord.
J' obtient donc arctan(n)>1+1/(1+2²)+1/(1+3²)+...+1/(1+n²)=somme(k=o à n)1/(1+k²).
Mais que dois je faire après?
J'en deduit que la suite Un converge ver pi/2 car lim(x->+inf)arctan(x)=pi/2?

PS je voulais aussi savoir comment precedemment tu avais determiner a, b et m....

Merci pour ton aie et je suis désolé de te demander tant de chose. je te remerci beaucoup

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 20h24

J'ai appliquer la même methode a Vn et je trouve que 2(1+n)>Vn et j'en aid eduit que Vn diverge vers +infini est ce correcte également?

**Flyingsquirrel** · 04/05/2008, 20h50

J' obtient donc arctan(n)>1+1/(1+2²)+1/(1+3²)+...+1/(1+n²)=somme(k=o à n)1/(1+k²).
Mais que dois je faire après?
J'en deduit que la suite Un converge ver pi/2 car lim(x->+inf)arctan(x)=pi/2?

Non, tu ne peux pas conclure sur la valeur de la limite. On sait que $\text{[math]}$ . Comme, de plus $\text{[math]}$ est croissante, on peut affirmer qu'elle converge. (suite croissante & majorée) Pour déterminer la valeur de la somme il aurait fallut faire autrement. (mais comment, ça, je ne sais pas).
En utilisant cette méthode, on n'a qu'un encadrement de la valeur de la limite : si on avait aussi minoré la somme, on aurait obtenu $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ ce qui est mieux que rien.

PS je voulais aussi savoir comment precedemment tu avais determiner a, b et m....

Pour la fonction, on la trouve en disant que $\text{[math]}$ est le terme général de la somme. $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont toujours respectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Pour $\text{[math]}$ , qui est un minorant de la fonction sur $\text{[math]}$ , on prend le minimum de la fonction sur l'intervalle soit $\text{[math]}$ si la fonction est croissante, $\text{[math]}$ si elle est décroissante. $\text{[math]}$ , un majorant, vaudra alors respectivement $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . (maximum de la fonction sur l'intervalle)

J'ai appliquer la même methode a Vn et je trouve que 2(1+n)>Vn et j'en aid eduit que Vn diverge vers +infini est ce correcte également?

Majorer une suite positive ne permet pas de prouver qu'elle diverge. Par exemple $\text{[math]}$ et pourtant $\text{[math]}$
Pour prouver la divergence d'une suite positive, il faut la minorer par une suite divergente. (et puis j'ai l'impression qu'il manque une racine carrée dans ton résultat

)

**Flyingsquirrel** · 04/05/2008, 20h57

Envoyé par Flyingsquirrel

En utilisant cette méthode, on n'a qu'un encadrement de la valeur de la limite : si on avait aussi minoré la somme, on aurait obtenu $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ ce qui est mieux que rien.

Ceci est faux.

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 21h42

comment dois je procéder pour Vn alors?

**Flyingsquirrel** · 04/05/2008, 21h47

L'inégalité de la moyenne dit également que $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un majorant de la fonction sur $\text{[math]}$ . Comme la fonction $\text{[math]}$ est décroissante sur $\text{[math]}$ , on peut prendre $\text{[math]}$ . Pour le reste, l'idée est exactement la même que pour la question précédente sauf qu'on minore au lieu de majorer.

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 21h56

d'accord. mais il me semble que cette suite la n'est pas convergente mais divergente au final...

invitea50d6c78 · 04/05/2008, 22h08

je diraits plutot pas convergente uniquement, divergente je n'ai pas étudier le cas...
en tout cs je te remercie beaucoup pour ton aide car tu m'a bien aider... merci beaucoup et bonne nuit.
à la prochaine

**aNyFuTuRe-** · 04/05/2008, 23h07

Y a pas moyen de conclure avec une somme de Riemann dès le début ? Ou alors l'exo demande de prouver la convergence ou la divergence des suites proposées au premier post ?

**Flyingsquirrel** · 05/05/2008, 08h27

Salut

Le problème c'est que, si on met la somme sous la forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , les bornes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne peuvent pas dépendre de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne doit pas non plus intervenir dans l'expression de $\text{[math]}$ . Je ne vois pas trop comment on peut faire ?

À quoi avais-tu pensé ?

**aNyFuTuRe-** · 05/05/2008, 16h53

Hello,

tu as raison j'avais regardé en vitesse et pas moyen (y a pas de n dans l'expression de la somme) de trouver une subdivision adaptée qui colle a la définition de la somme de Riemann ... Donc on oublie

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