Petit jeu sans importance

[Médiat]

Amusons-nous un peu avec les ordres denses en attendant la mort (clin d'oeil à P. Desproges, mort il y a 20 ans).

La logique utilisée est la logique classique du premier ordre avec égalité et le langage ne contient qu'un seul symbole supplémentaire : <

La théorie des ordres totaux denses sans extremums est -catégorique, c'est à dire ne possède qu'un seul modèle de cardinal (à isomorphisme près, bien sur).

Première question : trouver 2 modèles non isomorphes en cardinal (très facile)
Deuxième question : si on ajoute au langage, symboles de constantes pour et les axiomes pour , est-il possible de trouver plusieurs modèles non isomorphes de cette théorie, la même en fait, mais avec un langage enrichi (et si oui les exhiber).

Merci de donner vos réponses sous la balise spoiler.
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[Médiat]

et les axiomes pour

Ooops ! faute de frappe il faut lire :
et les axiomes pour

Cela ne change strictement rien, mais pourrait laisser croire qu'il y a une astuce basée sur ce changement de sens, ce n'est donc pas le cas.

[invite35452583]

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1ère question (en effet facile) :
atmosphère, atmosphère étoilée.

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2ème question : Q ordre habituel avec c_i=i et Q ordre habituel avec c_i=1-1/(i+1) ne sont pas isomorphes avec ce langage enrichi si je ne m'abuse.

[Médiat]

@homotopie :

Première question :

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1ère question (en effet facile) :
atmosphère, atmosphère étoilée.

J'ai pas compris

Deuxième question :

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2ème question : Q ordre habituel avec c_i=i et Q ordre habituel avec c_i=1-1/(i+1) ne sont pas isomorphes avec ce langage enrichi si je ne m'abuse.

Oui, mais il faudrait le justifier (en n'utilisant que le langage autorisé).
Un troisième exemple, différent de ces deux là pour la route ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

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J'ai pas compris

Synonymes puis homonymes.

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Justification : une des familles est majorée pas l'autre. 5pas le temps de faire propre, je dois m'en aller).
Pour un 3ème, c_i=trocature du développement décimal de Pi, ça va non ? (problème de borne supérieure).

[Médiat]

Première question

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J'ai enfin compris la "bonne" réponse d'homotopie, effectivement et , ne sont pas isomorphes dans le langage considéré.
Personnellement je préfère et , la non existence d'un isomorphisme entre les deux étant particulièrement évidente.

Deuxième question

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Il y a bien 3 modèles non isomorphes :
M1 : (autrement dit la suite des constantes n'est pas bornée)
M2 : (autrement dit la suite est bornée mais non convergente)
M3 : (autrement dit la suite des constantes converge)

Le cas M2 ici est bien le même que celui d'homotopie, qui est parfait (l'exemple, hein, faut pas exagérer quand même ), mais maniaque comme je suis je n'aime pas parler de quand je travaille sur .
Remarque qui me surprend toujours : une théorie complète ne peut pas avoir 2 modèles non isomorphes (mais 1, 3, 4 etc. sont possibles)

Troisième question : expliciter les ensembles de formules du premier ordre (chercher une formule du premier ordre ne marcherait pas), qui séparent les 3 modèles.

Quatrième question : montrer que le modèle M1 ci-dessus est premier (et atomique), c'est à dire qu'il s'injecte de façon croissante dans tous les modèles, et que M3 est un modèle saturé, c'est à dire dans lequel tous les modèles s'injectent de façon croissante.

Cinquième question : donner un majorant raisonnable du nombre de modèles dénombrable non isomorphes qu'une théorie dans un langage dénombrable peut avoir.

Sixième question : exhiber tous les modèles (à isomorphisme près) de la théorie de l'égalité pure dans le langage ne contenant que symboles de constantes et les axiomes (pas besoin d'expliciter la signification de )

Septième question : trouver une théorie complète dans un langage dénombrable ayant un nombre de modèles dénombrables égal au majorant de la cinquième question