Intégration possible ?

[invitebeac23ba]

bonjour,
pour un projet en electromagnétisme, je dtoi résoudre une intégrale, mais malheureusement, j'ai beau essayer, je n'y arrive pas. La voila

soit r une constante,
P(n) un polynome de degré n


L'intégrale est : 

INT{x=0,+inf}
(
exp(-rx)/P(4)
)

Merci d'avance si vous avez une piste (ou pas)
-----

[invitebe13a34d]

Salut,



Dans le cas où P(n) n'admet pas de racines réelles sur [0,+oo[, et r>=0, tu es sûr que ça converge, et tu peux passer à un calcul numérique.

[invitebeac23ba]

Oh, mais c'est pas ca ma question, je suis sur que l'intégrale converge. par contre je doit calculer analytiquement l'intégrale, et c'est la que ca bloque.

[invitebe13a34d]

J'ai peur, ça ne se fait pas à la main! un peu comme l'intégrale de exp(x²).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebeac23ba]

Ben exp(x²) se résoud trés simplement par les series entières :

exp(x²)=SOMME[x^(2n)/n!]

INT(exp(x²),0,+inf)=SOMME[x^(2n+1)/((2n+1)*n!)]

ensuite on calcule sa convergence.

SOMME[x^(2n+1)/((2n+1)*n!)]=
x.SOMME[x^(2n)/(2n*n!)]=
(x/2).SOMME[x^(2n)/(n*n!)]=

(x/2).SOMME[(1/n)*x^(2n)/(n!)]

[invite986312212]

mathematica ne sait pas le faire.
tu peux vérifier ici:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

[pat7111]

Et en decomposant P en element simples dans C ?

[invitebeac23ba]

Certe, mais mathématica n'est qu'un logiciel... ca ne prouve absolument rien.

[invitebeac23ba]

Par contre il arrive à résoudre ca : exp(-r*x)/(c*x*x+d*x+e), aprés il peu plus parceque il y a une limitation en mémoire... Mais techniquement c'est possible voila qui est encourageant

[invitebeac23ba]

Et ben résolu, en fait mon problème pouvais se résoudre à ca : exp(r*x)/((c*x*x+d*x+e)*(c*x*x+d*x+e))

et le résultat est donc moche mais ca : http://integrals.wolfram.com/index.j...Bd*x%2Be%29%29

[invite986312212]

oui mais ton polynôme de degré 4 n'est pas le plus général possible, puisque c'est le carré d'un polynôme de degré 2.
Le fait que Mathematica n'y arrive pas n'est pas la preuve qu'il n'y a pas de solution, mais ça signifie que la solution n'est pas simple.

[invitebeac23ba]

Ben voila le resultat final que je doit faire entre 0 et +inf : http://integrals.wolfram.com/index.j...Bd*x%2Be%29%29

[invitebe13a34d]

Ben exp(x²) se résoud trés simplement par les series entières :

exp(x²)=SOMME[x^(2n)/n!]

INT(exp(x²),0,+inf)=SOMME[x^(2n+1)/((2n+1)*n!)]

ensuite on calcule sa convergence.

SOMME[x^(2n+1)/((2n+1)*n!)]=
x.SOMME[x^(2n)/(2n*n!)]=
(x/2).SOMME[x^(2n)/(n*n!)]=

(x/2).SOMME[(1/n)*x^(2n)/(n!)]

Mais n'est pas une fonction usuelle!

[invite4ef352d8]

Une solution à base d'exponentielle intégral (la Fonction Ei) c'est pas vraiment une réponse ^^


enfin si c'est bien un P(x) au dénominateur, je confirme que cette intégral n'est pas exprimable par des fonctions usuelles, sauf peut-etre pour des valeurs trés particulière de P et r (et encore, je suis pas convaincu qu'il y en ai beaucoup...)




mais au début tu note P(4) au dénominateur, puis P(n) alors que tu intègre en x... c'est quoi ton intégral précisément ?

[breukin]

Effectivement...
Telle qu'écrite, si r>0, l'intégrale se calcule très bien, elle fait 1/rP(4)

[breukin]

Ne pas tenir compte du message précédent.
Comme is s'agit d'un problème de physique, il n'y a peut-être pas besoin d'une formule analytique, surtout si elles sont aussi compliquées que celles en exemple.

[invitebeac23ba]

en fait j'aurais du ecrire P(x,n) un polynome de degré n de variable x

Sinon exprimer une solution a base d'expo intégrale, je vois aps ce que ca choque, c'est unefonction comme une autre exprimable en serie entière, donc a aprtir de la, y a moyen de faire les calculs comme n'importe quelle autre fonction et meme de l'assimiler sur informatique.


En fait je veux calculer la solution analytique pour justement eviter de faire une intégration numérique qui prend pleinde ressources alors que j'ai environs deja une complexité O(n^4) sans intégration, alors en la rajoutant on arrive en O(n^5) ce qui est encore moins gérable ( pour donner des chiffres, avec l'intégrale analytique, cela me prendrais quelques heures, sans quelques jours de chargement )

[invitebeac23ba]

tu me dit que : INT(0,+inf)(exp(-rx)/P(4))

Ca fait 1/(rP(4)) si -r<0 Oo ? Démontre le moi alors parceque je vois pas la

sachant que r>0 et donc -r<0 dans tout les cas ( sinon le système diverge et physiquement impossible )

[breukin]

Parce que j'avais mal lu ta notation, et donc pour moi P(4) était un nombre.
Une très bonne notation aurait été P_n(x), et donc P₄(x). Mais j'ai lu P₄(4) !