Intégration

[Lycaon]

bonjour,


j'aimerais intégrer une expresion du type
at.exp(t/b)
a et b étant des constantes,t étant la variable.
l'idée initiale étant de trouver l'expression de l'intensité du courant traversant une bobine résistive,branchée aux bornes d'un générateur de tension triangulaire. (le cas de l'échelon de tension est classique)
S'agissant d'une équation différentielle linéaire
avec second membre variable,j'ai d'abord résolu l'équation sans second membre ,puis j'ai utilisé la méthode de variation des constantes. l'expression du second membre étant du type at+k(k étant une constante)
Cela m'amène à résoudre ,entre autre, l'intégration de l'expression indiquée au début.
Merci pour votre aide
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[invite1237a629]

Salut,

Intègre par parties (une fois), puis il te restera une intégrale avec seulement une exponentielle, affublée d'un coefficient constant dépendant de a et b.

[inviteaf1870ed]

Utilise une propriété qui dit que la primitive d'une fonction de type P(t)exp(t) est une fonction Q(t)exp(t) où P et Q sont des polynomes de même degré.

[Lycaon]

il y a bien 15 ans que je n'ai pas fait une intégration par partie!
En admettant que S représente le signe d'intégration,voici comment je résous S at .exp(t/b). dt
je pose u=at donc du = a.dt
dv=exp(t/b).dt donc v=b.exp(t/b)
alors
S at .exp(t/b).dt = at.b.exp(t/b) - S b.exp(t/b) .a.dt
= at.b.exp(t/b) -ab^2 .exp( t/b) +k
= ab.exp(t/b). (t-b) +k
k étant une constante.
Ne sachant pas où trouver les caractères graphiques adaptés,ce n'est pas très facile à lire,néanmoins,mon développement est-il correct?
Je verrai la seconde méthode ensuite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec336fcef]

Il y a un ecueil dans la démonstration.
L'intégration est correcte, mais il faut tenir compte des bornes d'intégration.

La formule d'IPP s'exprime par :


++

[Lycaon]

merci pour cette remarque importante.
Je vais pouvoir reprendre la résolution du problème que je m'étais posé.

[Lycaon]

Dans l'intervalle O à T/2 j'ai posé Ugéné =a.t avec a=cste
Dans l'intervalle T/2 à T on aurait U géné =-at +Uo
Je me suis contenté du premier intervalle
Dans ce cas on doit résoudre l équation
Ri +L di/dt =at ou i +L/R.di/dt = at/R on pose L/R= tau
on obtient
(1)
La résolution avec second membre nul donne
, A étant une constante .
Le second membre étant une fonction linéaire ,on considère que A est une fonction de t


On reporte cette expression de di/dt dans l'expression (1) et après simplification on obtient
Séparons les variables

On intègre par parties dA de 0 à t

En posant
et u =t ,on obtient
et du =dt ,d'où

On reporte cette expression de A dans l'équation 2

Mon développement est-il correct?
De plus j'aimerais savoir comment sauvegarder (une autre fois),la partie écrite avec TEX .Je découvre cet outil,c'est laborieux!
Merci pour votre avis

[Lycaon]

j'ai remarqué quelques erreurs au niveau des exp^t/tau ,mais le délai limité à 5 minutes ne m'a pas permis de corriger

[inviteaf1870ed]

Je te propose une méthode bien plus rapide : tu as bien trouvé la solution de l'équation sans second membre. Il te reste à trouver une solution particulière de l'équation avec second membre.
En général, avant de se lancer dans la variation de la constante on essaie avec des fonctions simples, du genre constantes ou polynomiales. Ici comme le second membre est une fonction du type f(t)=At, on essaie avec une fonction polynome du meme degré, c'est à dire 1.
Donc on pose i=pt+q et on résoud l'équation différentielle par identification. On trouve immédiatement p=a/R et q=-"tau"a/R.
La solution complète est donc de la forme pt+q+Aexp(-"tau"/t)
Les conditions aux limites en t=0 vont te donner la valeur de A.

[Lycaon]

C'est en effet bien plus rapide!
Le résultat montre que le courant n'est pas une simple fonction affine si tau n'est pas négligeable devant une demi période.C'est ce que je voulais voir car j'avais du mal à comprendre à quelle condition le courant était triangulaire si la tension aux bornes d'un ensemble R L était triangulaire.
Par contre je ne comprends pas pourquoi toutes les formules sont devenues des carrés avec croix rouges!Pourtant pas de problèmes d'images sur d'autres sites.Mais c'est hors sujet!

[invite7ffe9b6a]

le tex bug ce soir, tout le monde a le meme probleme