Permutations qui commutent sans Sn

[invite97a92052]

Bonsoir à tous,

Pour faire un exercice, j'ai besoin à un moment de montrer ceci :

On se place dans le groupe des permutations de m éléments
Si ou x est un m-cycle (donc un cycle qui permute tous les éléments), et , je dois montrer que C = H.

Bon, H inclus dans C, ça, c'est évident. Par contre, C inclus dans H, je me heurte à un mur... J'ai seulement réussi à montrer que tout m-cycle commutant avec x est une puissance de x, mais à l'aide d'une démonstration aussi longue qu'affreuse (calcul explicite !)
J'ai le pressentiment que c'est un résultat trivial, d'autant plus que ce n'est pas du tout dans le fil de l'exercice : j'en ai juste besoin pour une étape de raisonnement...

Merci pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter !

g_h
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[invite4ef352d8]

Salut !

si tu prend x dans C, et que tu ecrit sa décomposition en cycle, vu que g^(-1)xg=x, les support des cycle de x doivent etre stable par g, ce sont donc soit [1,m] tous entier soit vide.

donc x est soit un m cycle, soit l'identité.

son suppose x différent de l'identité, on a donc un certain k telle qie : x(1)=m=g^k(1)
et donc en faisant comuter x et g on peut ecrire que :
x(x^p(1))=g^k(x^p(1))

et comme x est un m cycle, x^p(1) parcours tous [1,m], et donc x=g^k.

[invite97a92052]

Je ne comprends pas bien :

"si tu prend x dans C, et que tu ecrit sa décomposition en cycle, vu que g^(-1)xg=x, les support des cycle de x doivent etre stable par g, ce sont donc soit [1,m] tous entier soit vide."

Mon x est fixé, c'est un m-cycle, relis bien. De plus, mélanges-tu mes notations avec les tiennes ?

Sinon, sauf erreur, dans ton raisonnement, si les supports des cycles de x sont "globalement stables" par g (ie g permute les supports), ça marche aussi.

(ex dans S4 : si mon x = (1234) et g = (13)(24), x^(-1)gx = g et pourtant g n'est pas un m-cycle ni l'identité)

Non ?

[invite35452583]

Il y a plus amusant et aussi instructif (sur un autre plan, la démo de Ksilver l'est aussi du moment où on prend le temps de la lire):
toutes les bijections ayant même décomposition sont conjuguées dans S_m.
Or le nombre m-cycles sont le nombre de réarrangements après "1" soit un nombre de (m-1)!.
Le stabilisateur pour la conjugaison intérieure est donc de cardinal m!/(m-1)!=m.
Or, si x est un m-cycle <x< est d'ordre m et est inclus dans le stabilisateur donc Stab=<x>.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Oui toute mes escuses j'ai inverser x et g :S

et en fait il y a encore plus simple :

soit g dans C.
x^k(1) parcour [1,m] tous entier, donc il existe k telle que x^k(1)=g(1)

ensuite on x^u(x^k(1))=x^u(g(1)) donc, x^k(x^u(1))=g(x^u(1))
comme x^u(1) parcout [1,m] tous entier on en déduis que g=x^k, cqfd !

[invite97a92052]

Ok, hé bien un immense merci à vous 2 pour vos points de vue différents !

g_h