Pourquoi matrice jacobienne coordonnée polaire non inversible en 0

[inviteb780bbfa]

Bonjour,

j'ai une petite question. En préparant mon TD, un exercice est de regarder, dans , la matrice hessienne de passage en coordonnée polaire . Celle ci est

Son déterminant vaut trivialement , donc elle est inversible partout sauf en l'origine.
Ma petite question, c'est pourquoi ?
(y a t il une explication "simple" ?)
merci !
-----

[invite57a1e779]

B En préparant mon TD, un exercice est de regarder, dans , la matrice hessienne de passage en coordonnée polaire .

Son déterminant vaut trivialement , donc elle est inversible partout sauf en l'origine.
Ma petite question, c'est pourquoi ?
(y a t il une explication "simple" ?)

Tout d'abord il s'agit de la matrice jacobienne...
Elle n'est pas inversible parce que le passage en polaires n'est pas localement inversible à l'origine.

[inviteb780bbfa]

Oui pardon je me suis trompé, Jacobienne et non Hessienne...

Cependant, y a t il une explication "simple" ?
Quelqu'un m'avait dit que c'est parce que en l'origine, "tous les angles theta marchent"....
ca me parait un peu fumeux mais bon ... ?

[invite57a1e779]

Cependant, y a t il une explication "simple" ?
Quelqu'un m'avait dit que c'est parce que en l'origine, "tous les angles theta marchent"....

C'est exactement ce que j'ai dit : le passage en polaires n'est pas localement inversible à l'origine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15c64cf3]

bonjour,
normalement le r (en coordonné polaire) represente la distance entre le point d'origine (0,0) et un point qlq M(x,y) ,d'autre part on sait que pour qu'une matrice soit inversible il faut que son determinant soit non nul et ça c'est clair puisque l'inverse d'une matrice A est donnéé par t(comA) divisé par le determinant
ici dans ton exp le déterminant est r et au point (0,0) on a r=0 ce qu'il fallait montrer

[invitec053041c]

bonjour,
normalement le r (en coordonné polaire) represente la distance entre le point d'origine (0,0) et un point qlq M(x,y) ,d'autre part on sait que pour qu'une matrice soit inversible il faut que son determinant soit non nul et ça c'est clair puisque l'inverse d'une matrice A est donnéé par t(comA) divisé par le determinant
ici dans ton exp le déterminant est r et au point (0,0) on a r=0 ce qu'il fallait montrer

Non mais a il l'a bien compris, il veut une explication "visuelle" qui explique pourquoi on ne peut pas inverser le passage en polaire à l'origine.

Ca vient bien du fait que l'argument de 0 est dfficilemet définissable, à moins qu'on lui donne une valeur arbitraire, mais dans tous les cas on aura un problème selon "l'angle d'attaque" vers lequel on se dirige vers 0.

Ce même problème d'argument à l'origine se retrouve dans le théorème du relèvement d'ailleurs (si ça t'intéresse).

[invite57a1e779]

Cependant, y a t il une explication "simple" ?
Quelqu'un m'avait dit que c'est parce que en l'origine, "tous les angles theta marchent"....

Peut-être plus explicite que la contraposition du théorème d'inversion locale :
Si je note

alors l'application partielle est constante, puisque, pour tout ,on a donc ; donc l'élément de appartient au noyau de la différentielle de en , et cette différentielle n'est pas inversible, il en est de même la matrice jacobienne qui la représente dans la base canonique.
Le fait que l'application partielle soit constante, est bien la raison pour laquelle n'est pas localement inversible au voisinage de l'origine, et cela vient bien d'un problème de définition de l'angle à l'origine.

[invite15c64cf3]

bonjour
ça m'interesse mais je pense pas que j'ai bien compri ton explication,peux tu me la détailler un peu ( si ça ne te deranges pas bien sur)

[invite57a1e779]

Bonjour,

ça m'interesse mais je pense pas que j'ai bien compri ton explication,peux tu me la détailler un peu

La différentielle de au point est l'unique application linéaire telle que .
Si est constante dans la direction du vecteur , ce qui est le cas pour les points et , on aura, pour tout réel, , donc et .
Le noyau de n'est pas réduit au vecteur nul, donc n'est pas bijective.

[inviteb780bbfa]

Hello, désolé du retard

Merci bien pour vos réponses, c'est donc le problème de l'angle : à l'origine, tous les angles sont "bons".

Cependant, si la matrice est inversible, cela veut dire qu'on peut revenir en coordonnées (par ex.) cartésiennes ?
(et du coup, je me demandais pourquoi ca pose problème pour l'origine)

Merci bien, et pis bon apres midi !

[invite57a1e779]

Cependant, si la matrice est inversible, cela veut dire qu'on peut revenir en coordonnées (par ex.) cartésiennes ?
(et du coup, je me demandais pourquoi ca pose problème pour l'origine)

Non, tu prends le problème à l'envers.

On part de l'application : qui donne les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées polaires.
Lorsque la matrice jacobienne est inversible, cette application est localement bijective, donc on peut calculer, de façon des coordonnées polaires en fonction des coordonnées cartésiennes au voisinage du point considéré.
Ce qui est impossible au voisinage de l'origine : quelle que soit la valeur choisie pour l'angle à l'origine, il existe, dans tout voisinage de l'origine, des points dont l'angle polaire n'est pas "suffisamment proche" de .