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Pourquoi matrice jacobienne coordonnée polaire non inversible en 0



  1. #1
    Thos

    Pourquoi matrice jacobienne coordonnée polaire non inversible en 0


    ------

    Bonjour,

    j'ai une petite question. En préparant mon TD, un exercice est de regarder, dans , la matrice hessienne de passage en coordonnée polaire . Celle ci est

    Son déterminant vaut trivialement , donc elle est inversible partout sauf en l'origine.
    Ma petite question, c'est pourquoi ?
    (y a t il une explication "simple" ?)
    merci !

    -----

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  4. #2
    God's Breath

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Citation Envoyé par Thos Voir le message
    B En préparant mon TD, un exercice est de regarder, dans , la matrice hessienne de passage en coordonnée polaire .

    Son déterminant vaut trivialement , donc elle est inversible partout sauf en l'origine.
    Ma petite question, c'est pourquoi ?
    (y a t il une explication "simple" ?)
    Tout d'abord il s'agit de la matrice jacobienne...
    Elle n'est pas inversible parce que le passage en polaires n'est pas localement inversible à l'origine.

  5. #3
    Thos

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Oui pardon je me suis trompé, Jacobienne et non Hessienne...

    Cependant, y a t il une explication "simple" ?
    Quelqu'un m'avait dit que c'est parce que en l'origine, "tous les angles theta marchent"....
    ca me parait un peu fumeux mais bon ... ?

  6. #4
    God's Breath

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Citation Envoyé par Thos Voir le message
    Cependant, y a t il une explication "simple" ?
    Quelqu'un m'avait dit que c'est parce que en l'origine, "tous les angles theta marchent"....
    C'est exactement ce que j'ai dit : le passage en polaires n'est pas localement inversible à l'origine.

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  8. #5
    hoditta

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    bonjour,
    normalement le r (en coordonné polaire) represente la distance entre le point d'origine (0,0) et un point qlq M(x,y) ,d'autre part on sait que pour qu'une matrice soit inversible il faut que son determinant soit non nul et ça c'est clair puisque l'inverse d'une matrice A est donnéé par t(comA) divisé par le determinant
    ici dans ton exp le déterminant est r et au point (0,0) on a r=0 ce qu'il fallait montrer

  9. #6
    Ledescat

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Citation Envoyé par hoditta Voir le message
    bonjour,
    normalement le r (en coordonné polaire) represente la distance entre le point d'origine (0,0) et un point qlq M(x,y) ,d'autre part on sait que pour qu'une matrice soit inversible il faut que son determinant soit non nul et ça c'est clair puisque l'inverse d'une matrice A est donnéé par t(comA) divisé par le determinant
    ici dans ton exp le déterminant est r et au point (0,0) on a r=0 ce qu'il fallait montrer
    Non mais a il l'a bien compris, il veut une explication "visuelle" qui explique pourquoi on ne peut pas inverser le passage en polaire à l'origine.

    Ca vient bien du fait que l'argument de 0 est dfficilemet définissable, à moins qu'on lui donne une valeur arbitraire, mais dans tous les cas on aura un problème selon "l'angle d'attaque" vers lequel on se dirige vers 0.

    Ce même problème d'argument à l'origine se retrouve dans le théorème du relèvement d'ailleurs (si ça t'intéresse).
    Cogito ergo sum.

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  11. #7
    God's Breath

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Citation Envoyé par Thos Voir le message
    Cependant, y a t il une explication "simple" ?
    Quelqu'un m'avait dit que c'est parce que en l'origine, "tous les angles theta marchent"....
    Peut-être plus explicite que la contraposition du théorème d'inversion locale :
    Si je note
    alors l'application partielle est constante, puisque, pour tout ,on a donc ; donc l'élément de appartient au noyau de la différentielle de en , et cette différentielle n'est pas inversible, il en est de même la matrice jacobienne qui la représente dans la base canonique.
    Le fait que l'application partielle soit constante, est bien la raison pour laquelle n'est pas localement inversible au voisinage de l'origine, et cela vient bien d'un problème de définition de l'angle à l'origine.

  12. #8
    hoditta

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    bonjour
    ça m'interesse mais je pense pas que j'ai bien compri ton explication,peux tu me la détailler un peu ( si ça ne te deranges pas bien sur)
    "Si les faits ne correspondent pas à la théorie, changez les faits." Einstein

  13. #9
    God's Breath

    Re : Pourquoi matrice hessienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Bonjour,
    Citation Envoyé par hoditta Voir le message
    ça m'interesse mais je pense pas que j'ai bien compri ton explication,peux tu me la détailler un peu
    La différentielle de au point est l'unique application linéaire telle que .
    Si est constante dans la direction du vecteur , ce qui est le cas pour les points et , on aura, pour tout réel, , donc et .
    Le noyau de n'est pas réduit au vecteur nul, donc n'est pas bijective.

  14. #10
    Thos

    Re : Pourquoi matrice jacobienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Hello, désolé du retard

    Merci bien pour vos réponses, c'est donc le problème de l'angle : à l'origine, tous les angles sont "bons".

    Cependant, si la matrice est inversible, cela veut dire qu'on peut revenir en coordonnées (par ex.) cartésiennes ?
    (et du coup, je me demandais pourquoi ca pose problème pour l'origine)

    Merci bien, et pis bon apres midi !

  15. #11
    God's Breath

    Re : Pourquoi matrice jacobienne coordonnée polaire non inversible en 0

    Citation Envoyé par Thos Voir le message
    Cependant, si la matrice est inversible, cela veut dire qu'on peut revenir en coordonnées (par ex.) cartésiennes ?
    (et du coup, je me demandais pourquoi ca pose problème pour l'origine)
    Non, tu prends le problème à l'envers.

    On part de l'application : qui donne les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées polaires.
    Lorsque la matrice jacobienne est inversible, cette application est localement bijective, donc on peut calculer, de façon des coordonnées polaires en fonction des coordonnées cartésiennes au voisinage du point considéré.
    Ce qui est impossible au voisinage de l'origine : quelle que soit la valeur choisie pour l'angle à l'origine, il existe, dans tout voisinage de l'origine, des points dont l'angle polaire n'est pas "suffisamment proche" de .

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