pdt de convolution, aide pour compréhension d'une solution d'un exo

[invited028b400]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour comprendre la résolution d'un exercice :
Soit f= X[0,1] et g=X[-1,0]. Derterminer une fontion h appartenant à L^1(R) vérifiant h^=f^g^. ou h^=transformation de fourier de h.

la solution est :
f, g appartiennent à L^1(R) donc f^g^=(f+g)^.
Donc il suffit de choisir h=f*g.

h(x)= intégrale (-infini à + infini) f(x-y) g(y) dy = intégrale (-1 à 0) f(x-y)dy = intégrale (x à x+1) f(t)dt
= 0 si x<=-1 ou x>=1 ; x+1 si -1<=x<=0 ; 1-x si 0<=x<=1.

Je n'ai pas compris comment était calculer l'intégrale, je vois qu'un moment il y a eu un chgt de variable t=x-y, mais le calcul en lui meme je ne vois pas comment il est effectué.

Je vous remercie bcp
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[invite39cbe40b]

que veut tu dire par f= X[0,1] et g=X[-1,0]

[invited028b400]

Ah oui j'ai oublié, en fait c'est un X un peu bizarre, il me semble que c'est comem pour une fonction indicatrice.

[invite57a1e779]

Ah oui j'ai oublié, en fait c'est un X un peu bizarre, il me semble que c'est comem pour une fonction indicatrice.

est l'indicatrice de : elle est nulle en dehors de cet intervalle.
Par suite les intégrales et sont nulles, et il reste :
puisque prend la valeur 1 sur .

Pour mieux comprendre ce qui se passe au niveau de , on effectue le changement de variable , d'où :


Si , c.-à-d. , est nulle sur , donc .

Si , c.-à-d. , est nulle sur , donc .

Reste le cas où les intervalles et ont une intersection non vide, notée sur laquelle prend la valeur 1.
On a alors , et il reste à voir quelle est la longueur de l'intervalle suivant les valeurs de

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited028b400]

Bonjour,

Je vous remercie pour ces explications.
Merci