Evariste GALOIS

[Gabriel]

Tous les lycéens savent que l'équation polynomiale du second degré ax**2 + bx + c = 0 a 2 racines x1 et x2 qui peuvent s'exprimer par radicaux en fonction des coefficients a, b, c.
Par ailleurs on a : x1 + x2 = -b/a
et x1x2 = c/a

Ces relations entre racines et coef se généralisent quel que soit le degré de l'équation.

Par exemple pour n=5 on a :
ax**5 + bx**4 + cx3 + dx**2 + ex + f = 0

et x1 +x2 +x3 + x4 +x5 = -b/a

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x1x5 + x2x3 + x2x4 + x2x5 + x3x4 + x3x5 + x4x5 = c/a

x1x2x3 + x1x2x4 + x1x2x5 + x2x3x4 + x1x3x4 + x1x4x5 + x2x3x5 + x3xx4x5 + x3x1x5 + x2x4x5 = -d/a

x1x2x3x4 + x1x2x3x5 + x1x3x4x5 + x1x2x4x5 + x2x3x4x5 = e/a

x1x2x3x4x5 = -f/a

Et pourtant Evariste GALOIS a démontré que pour n=5 n>5, il n'existe pas de méthode générale pour résoudre par radicaux.
Je suis étonné qu'il soit par contre possible d'exprimer les relations ci-dessus par radicaux.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer cette égnime ?
Merci.
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[invitebb921944]

Bonjour,
Dans le cas n=2 par exemple, on a :
ax²+bx+c=0

x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
Si je veux résoudre :
x1(-b/a-x1)=c/a
x1²+b/ax1+c/a=0

En gros, résoudre un tel système revient à résoudre une équation de degré 2, et dans ton cas une équation de degré 5...
On tourne en rond quoi.

Après j'imagine qu'une somme/produit de variables non exprimables par radicaux peut l'être mais je n'en sais pas plus.

[invite4ef352d8]

Salut !

ces relations "coeficient/racines" sont pas si mystérieuses que ca, pour un polynome quelconque P, de racine (x1,...xn), en écrivant que :

P(x)=an*x^n+...+a0=an*(x-x1)*(x-x2)*...*(x-xn)

et en dévelopant le produit à droite on trouve immédiatement ces formules !

ce qui est un peu plus "mystérieux" c'est le fait que x1..xn ne soit pas exprimable par radicaux dans le cas général, mais pour comprendre cela, il vaut mieux faire un peu de théorie de Galois.

NB : le théorème que tu énonce (qu'une equation "général" de degrée 5 n'est pas soluble par radicaux) est un théorème due à Abel et non à Galois.
Galois à effectivement travaillé sur ce sujet, mais son travail est postérieur à celui d'Abel (et aussi beaucoup plus profond...)

[invitec053041c]

Salut.

Comme ça a notemment été dit par Ksilver, les relations coefficients/racines se retrouvent facilement.

En réalité, chercher les racines d'un polynôme de degré 3 par exemple, équivaut à chercher 3 nombres tels que l'on connaisse leur somme, leur produit, et la somme de leurs produits 2 à 2.

Donc si je demande de trouver t1,t2,t3,t4,t5 tels que:
t1+t2+t3=a
t1t2+t2t3+t3t1=b
t1t2t3=c
n'est facile à résoudre qu'en apparence, mais ce système se ramène à résoudre X^3-aX²+bX-c=0 (feinté ).

Bref, pas de mystère derrière les relations coeff/racines.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gabriel]

Merci pour vos réponses.
A défaut d'avoir un dossier "Théorie des groupes de ABEL et GALOIS appliqué à la résolution des équations polynomiales de degré n" dans le site de Futura-Sciences, pourriez-vous m'indiquer un site internet qui traite de ce sujet, en étant à la fois "professionnel" et avec des commentaires pouvant être compris par monsieur tout le monde ?

[invite986312212]

ici : http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Co.../311Galois.pdf tu peux télécharger un cours (en Anglais) relativement élémentaire qui mène des premières définitions à la démonstration de l'impossibilité de résoudre par radicaux l'équation polynomiale générale de degré 5, ainsi que d'autres résultats, concernant les constructions à la règle et au compas, le tout en 44 pages. C'est quand-même des maths, je ne suis pas sûr que "monsieur tout-le-monde" puisse le lire. Mais tu peux essayer, et puis demander des éclaircissements sur ce forum, il y a toujours des gens disponibles et prêts à expliquer les choses les plus élémentaires comme les plus avancées.

[invite31253240]

Au risque d'abaisser le débat, ça veut dire quoi "résolvable par radicaux" ?

[invite4ef352d8]

On dit qu'un un polynome est résoluble par radicaux si on peut exprimer ces racines en utilisants uniquement les opération élémentaire (+,*,/,-). les racines n-iemme, et des racines n-iemme de 1.

Abel à prouver qu'il existe certaines equations de degrée 5 ne sont pas résoluble par radicaux, et donc qu'il n'existe pas de methode pour résoudre une equation de degrée 5 par radicaux.

Galois à généraliser la methode d'Abel, et la thèorie de Galois permet de donner un critère pour savoir si une equation donné est ou non résoluble par radicaux et meme (c'est parfois très laborieux quand meme) de trouver les racines quand elle est résoluble par radicaux.

[invite31253240]

D'accord, merci.