bonjour avant de poser mes questions au sujet des groupes de Galois j'ai encore quelques questions sur les corps...
1. j'ai
On suppose que
Montrer que![]()
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bonjour avant de poser mes questions au sujet des groupes de Galois j'ai encore quelques questions sur les corps...
1. j'ai
On suppose que
Montrer que![]()
Est-ce juste de dire:
donc
donc:
doncd'ou la réponse...??
![]()
Oui, c'est exact, mais il est aussi simple de dire que l'on a
– l 'inclusion de-espaces vectoriels
;
– l'égalitéde leurs dimensions sur
.
On peut ainsi conclure à l'égalité de ces-espaces vectoriels.
Avant de poser ma prochaine question je voudrais remercier God's Breath...
Pour la qualité, la vitesse et la précision de ses réponses.
Merci.![]()
On admet queest transcendant sur
a) Est ce queest alébrique sur
, sur
?
je dirais queest algébrique sur
de façon évidente car racine de
.
Surje dirais non... Comme démonstration je dirais que si
est algébrique sur un corps alors
aussi. Est-ce évident?
b) Montrer queest algébrique sur
et donner son polynôme minimal.
Je dirais que commeon à que
est racine de
donc algébrique sur le corps en question et le polynôme cité est bien minimal.
c) Montrer queest algébrique sur
, que
et que
est de degré 3 sur
surtout arrêtez moi si je dis une bêtise...![]()
Siest algébrique sur
, alors
est un
-espace vectoriel de dimension
donc tout élément de
, en particulier
est algébrique sur
, de degré au plus
.
Encore faudrait-il montrer que le polynôme minimal n'est pas, c'est-à-dire que
n'appartient pas à
.
Il n'est pas vraiment difficile de trouver un élément dedont
est racine.
Cela semble évident, non?
Pour c) je dirais queest racine de
donc
est bien algébrique sur
Ensuite je dois montrer quec'es la même histoire qu'avant... je ne vois pas trop comment faire...
Ensuite pour montrer queest de degré 3 sur
il suffit de voir que si
est réductible il va se trouver sous la forme
cela voudrait dire que
or
donc
impossible pour les mêmes raisons...
doncest bien de degré 3 sur
![]()
Bonjour,
Mais même pour un résultat "écident", il faut pouvoir donner un argument.
Si, il existe
dans
avec
, donc
. On écrit alors
avec
et
dans
, et l'on voit que
est racine de
donc algébrique sur
, ce qui contredit le résultat de Lindemann, que je suppose connu, sur la transcendance de
.
Tu peux bricoler des calculs analogues pour montrer que.
ok je peux dire que sialors
donc il existetel que
et avec
tels que
On trouve queest racine du polynôme
orest transcendant sur les rationnels.
C'est bon?
Il y a visiblement des erreurs sur les exposants de, et une faute de frappe dans la première ligne :
!!!
Mais je pense que, bien rédigé, cette preuve fonctionne.
Plus simple : si, alors
avec
et
dans
, donc
est racine du polynôme
.
sans la faute...
alors
donc il existetel que
et donc
avec
tels que
On trouve queest racine du polynôme
orest transcendant sur les rationnels.
Maintenant pour Galois...
Soientet
.
(a) Décomposeren facteur irréductibles dans
.
Ici pour les notationsest une racine du polynôme?
Non ok c'est la classe de X... dsl
PAr contre comment je montre queest un avion de chasse américain?
Enfin vous voyez ce que je veux dire...![]()
Non sérieusement est ce que je peux dire simplement que comme le polynôme en question est irréductible surque mon extension sera de degré 4 est qu'elle sera
?
et de là je peux dire queest cyclique d'ordre 4? et cela me permettrais directement de dire que
?
Personne pour m'aider?
Avec la notation, tu as
: c'est un corps de rupture de
, dont
est racine dans ce corps.
Il faut avoir un peu d'habitude du calcul en caractéristique finie.
Tout d'abord, on a la règle fondamentale du calcul sur:
, ou encore :
.
Ensuite, en caractéristique 2 :, en particulier
.
En ajoutantaux deux membres :
: si
est racine de
, alors
l'est également.
On connait déjà la racine, donc
est également racine ; si l'on trouve une troisième racine
, la quatrième sera
.
Comme, tu as
, d'où une troisième racine
, et la quatrième
.
Donc, dans, tu as
.
Ensuite, comme tu l'as remarqué,est de degré 4 sur
, c'est donc un corps à
éléments, c'est-à-dire un avatar de
, et son groupe de Galois sur
est
.
Par calcul direct : soitun morphisme de corps sur
au-dessus de
, tu as nécessairement :
– soit, alors
,
,
, d'où une seule permutation
;
– soit, alors
,
,
, d'où une seule permutation
d'ordre 2 ;
– soit, alors
,
,
, d'où une seule permutation
d'ordre 4 ;
– soit, alors
,
,
, d'où une seule permutation
d'ordre 4.
Le groupe de Galoisest d'ordre 4, avec
, et
, il est cyclique...
Merci beaucoup voici de quoi m'aider pour quelques exercices!![]()
Cela fait une heure que je galère avecpour exprimer les trois racines en fonction de
dans
![]()
sauf si je peux utiliser
Je vais bien finir par comprendre comment cela marche...
On vérifie facilement quen'as pas de racine dans
, étant de degré 3, il est donc irréductible.
Doncavec
, est un corps de rupture de
.
Mais dans tout corps, les racines desont les
, où
décrit l'ensemble des racines
-ièmes de l'unité.
Or, dans[/QUOTE], les racines cubiques de 1 sont 1,2 et 4. Donc, dans
,
.
Ensuite je dois trouver l'orbite desous l'action de
.
pour cela je pense que je dois déjà trouver de quoi est composer, non?
Il est d'ordre 3:
avec
et
,
et
on remarque que
donc:il est donc isomorphe à
Pour l'orbite deje donne
c'est juste ca???
Si "quelqu'un" pouvait me dire si c'est juste. Et pour que les choses soi plus claire est ce qu'on pourrait me donner exemple sur un corps fini avec un polynôme et que le groupes galois soit isomorphe à?
Tes calculs sont corrects.Ensuite je dois trouver l'orbite desous l'action de
.
pour cela ...
Pour l'orbite deje donne
c'est juste ca???
Si "quelqu'un" pouvait me dire si c'est juste. Et pour que les choses soi plus claire est ce qu'on pourrait me donner exemple sur un corps fini avec un polynôme et que le groupes galois soit isomorphe à?
Une petite question : qui est?
?