Théorie de Galois et compagnie

invitefb392423 · 17/05/2008, 22h53

bonjour avant de poser mes questions au sujet des groupes de Galois j'ai encore quelques questions sur les corps...

1. j'ai $\text{[math]}$
On suppose que $\text{[math]}$
Montrer que $\text{[math]}$

invitefb392423 · 17/05/2008, 23h07

Est-ce juste de dire:

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
donc:
$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$ d'ou la réponse...??

invite57a1e779 · 17/05/2008, 23h56

Oui, c'est exact, mais il est aussi simple de dire que l'on a
– l 'inclusion de $\text{[math]}$ -espaces vectoriels $\text{[math]}$ ;
– l'égalité $\text{[math]}$ de leurs dimensions sur $\text{[math]}$ .

On peut ainsi conclure à l'égalité de ces $\text{[math]}$ -espaces vectoriels.

invitefb392423 · 18/05/2008, 16h02

Avant de poser ma prochaine question je voudrais remercier God's Breath...
Pour la qualité, la vitesse et la précision de ses réponses.
Merci.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitefb392423 · 18/05/2008, 17h15

On admet que $\text{[math]}$ est transcendant sur $\text{[math]}$

a) Est ce que $\text{[math]}$ est alébrique sur $\text{[math]}$ , sur $\text{[math]}$ ?

je dirais que $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ de façon évidente car racine de $\text{[math]}$ .

Sur $\text{[math]}$ je dirais non... Comme démonstration je dirais que si $\text{[math]}$ est algébrique sur un corps alors $\text{[math]}$ aussi. Est-ce évident?

invitefb392423 · 18/05/2008, 17h40

b) Montrer que $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ et donner son polynôme minimal.

Je dirais que comme $\text{[math]}$ on à que $\text{[math]}$ est racine de $\text{[math]}$ donc algébrique sur le corps en question et le polynôme cité est bien minimal.

c) Montrer que $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ , que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ est de degré 3 sur $\text{[math]}$

surtout arrêtez moi si je dis une bêtise...

invite57a1e779 · 18/05/2008, 21h09

Envoyé par pointfixe

On admet que $\text{[math]}$ est transcendant sur $\text{[math]}$

a) Est ce que $\text{[math]}$ est alébrique sur $\text{[math]}$ , sur $\text{[math]}$ ?

je dirais que $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ de façon évidente car racine de $\text{[math]}$ .

Sur $\text{[math]}$ je dirais non... Comme démonstration je dirais que si $\text{[math]}$ est algébrique sur un corps alors $\text{[math]}$ aussi. Est-ce évident?

Si $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ donc tout élément de $\text{[math]}$ , en particulier $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ , de degré au plus $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 18/05/2008, 21h12

Envoyé par pointfixe

b) Montrer que $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ et donner son polynôme minimal.

Je dirais que comme $\text{[math]}$ on à que $\text{[math]}$ est racine de $\text{[math]}$ donc algébrique sur le corps en question et le polynôme cité est bien minimal.

Encore faudrait-il montrer que le polynôme minimal n'est pas $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que $\text{[math]}$ n'appartient pas à $\text{[math]}$ .

Envoyé par pointfixe

c) Montrer que $\text{[math]}$ est algébrique sur $\text{[math]}$ , que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ est de degré 3 sur $\text{[math]}$

Il n'est pas vraiment difficile de trouver un élément de $\text{[math]}$ dont $\text{[math]}$ est racine.

invitefb392423 · 20/05/2008, 19h36

Envoyé par God's Breath

Encore faudrait-il montrer que le polynôme minimal n'est pas $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que $\text{[math]}$ n'appartient pas à $\text{[math]}$ .

Cela semble évident, non?

Pour c) je dirais que $\text{[math]}$ est racine de $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est bien algébrique sur $\text{[math]}$

Ensuite je dois montrer que $\text{[math]}$ c'es la même histoire qu'avant... je ne vois pas trop comment faire...

Ensuite pour montrer que $\text{[math]}$ est de degré 3 sur $\text{[math]}$ il suffit de voir que si $\text{[math]}$ est réductible il va se trouver sous la forme $\text{[math]}$ cela voudrait dire que $\text{[math]}$ or
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ impossible pour les mêmes raisons...
donc $\text{[math]}$ est bien de degré 3 sur $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 20/05/2008, 20h51

Bonjour,

Envoyé par pointfixe

Envoyé par God's Breath

Encore faudrait-il montrer que $\text{[math]}$ n'appartient pas à $\text{[math]}$ .

Cela semble évident, non?

Mais même pour un résultat "écident", il faut pouvoir donner un argument.

Si $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . On écrit alors $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et l'on voit que $\text{[math]}$ est racine de $\text{[math]}$ donc algébrique sur $\text{[math]}$ , ce qui contredit le résultat de Lindemann, que je suppose connu, sur la transcendance de $\text{[math]}$ .

Tu peux bricoler des calculs analogues pour montrer que $\text{[math]}$ .

invitefb392423 · 21/05/2008, 15h02

Envoyé par God's Breath

Tu peux bricoler des calculs analogues pour montrer que $\text{[math]}$ .

oui mais c'est moins facile...

invite57a1e779 · 21/05/2008, 15h10

Envoyé par pointfixe

oui mais c'est moins facile...

Si $\text{[math]}$ s'exprime rationnellement en fonction de $\text{[math]}$ , il est immédiat d'exhiber un polynôme dont $\text{[math]}$ soit racine...

invitefb392423 · 21/05/2008, 15h47

ok je peux dire que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et avec $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$
On trouve que $\text{[math]}$ est racine du polynôme $\text{[math]}$
or $\text{[math]}$ est transcendant sur les rationnels.
C'est bon?

invite57a1e779 · 21/05/2008, 16h10

Envoyé par pointfixe

ok je peux dire que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et avec $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$
On trouve que $\text{[math]}$ est racine du polynôme $\text{[math]}$
or $\text{[math]}$ est transcendant sur les rationnels.
C'est bon?

Il y a visiblement des erreurs sur les exposants de $\text{[math]}$ , et une faute de frappe dans la première ligne : $\text{[math]}$ !!!
Mais je pense que, bien rédigé, cette preuve fonctionne.

Plus simple : si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est racine du polynôme $\text{[math]}$ .

invitefb392423 · 21/05/2008, 16h26

sans la faute...
$\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$
On trouve que $\text{[math]}$ est racine du polynôme $\text{[math]}$
or $\text{[math]}$ est transcendant sur les rationnels.

invite57a1e779 · 21/05/2008, 16h59

Envoyé par pointfixe

$\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$

Oui, avec la correction de frappe (c'est difficile d'avoir un texte propre...) : $\text{[math]}$ , dont tu te sers effectivement dans la suite de ta preuve.

invitefb392423 · 23/05/2008, 19h45

Maintenant pour Galois...
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
(a) Décomposer $\text{[math]}$ en facteur irréductibles dans $\text{[math]}$ .

Ici pour les notations $\text{[math]}$ est une racine du polynôme?

invitefb392423 · 23/05/2008, 20h13

Non ok c'est la classe de X... dsl
PAr contre comment je montre que $\text{[math]}$ est un avion de chasse américain?
Enfin vous voyez ce que je veux dire...

invitefb392423 · 23/05/2008, 20h16

Non sérieusement est ce que je peux dire simplement que comme le polynôme en question est irréductible sur $\text{[math]}$ que mon extension sera de degré 4 est qu'elle sera $\text{[math]}$ ?

invitefb392423 · 23/05/2008, 20h22

et de là je peux dire que $\text{[math]}$ est cyclique d'ordre 4? et cela me permettrais directement de dire que $\text{[math]}$ ?

invitefb392423 · 24/05/2008, 20h24

Personne pour m'aider?

invite806bf0ab · 24/05/2008, 20h50

Envoyé par pointfixe

Personne pour m'aider?

Non personne, ils sont tous de sortie ce soir

invite57a1e779 · 24/05/2008, 21h38

Envoyé par pointfixe

Personne pour m'aider?

Avec la notation $\text{[math]}$ , tu as $\text{[math]}$ : c'est un corps de rupture de $\text{[math]}$ , dont $\text{[math]}$ est racine dans ce corps.

Il faut avoir un peu d'habitude du calcul en caractéristique finie.
Tout d'abord, on a la règle fondamentale du calcul sur $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , ou encore : $\text{[math]}$ .

Ensuite, en caractéristique 2 : $\text{[math]}$ , en particulier $\text{[math]}$ .
En ajoutant $\text{[math]}$ aux deux membres :
$\text{[math]}$ : si $\text{[math]}$ est racine de $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ l'est également.
On connait déjà la racine $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est également racine ; si l'on trouve une troisième racine $\text{[math]}$ , la quatrième sera $\text{[math]}$ .

Comme $\text{[math]}$ , tu as $\text{[math]}$ , d'où une troisième racine $\text{[math]}$ , et la quatrième $\text{[math]}$ .

Donc, dans $\text{[math]}$ , tu as $\text{[math]}$ .

Ensuite, comme tu l'as remarqué, $\text{[math]}$ est de degré 4 sur $\text{[math]}$ , c'est donc un corps à $\text{[math]}$ éléments, c'est-à-dire un avatar de $\text{[math]}$ , et son groupe de Galois sur $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

Par calcul direct : soit $\text{[math]}$ un morphisme de corps sur $\text{[math]}$ au-dessus de $\text{[math]}$ , tu as nécessairement :
– soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , d'où une seule permutation $\text{[math]}$ ;
– soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , d'où une seule permutation $\text{[math]}$ d'ordre 2 ;
– soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , d'où une seule permutation $\text{[math]}$ d'ordre 4 ;
– soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , d'où une seule permutation $\text{[math]}$ d'ordre 4.

Le groupe de Galois $\text{[math]}$ est d'ordre 4, avec $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ , il est cyclique...

invitefb392423 · 24/05/2008, 21h57

Merci beaucoup voici de quoi m'aider pour quelques exercices!

invitefb392423 · 25/05/2008, 12h22

Cela fait une heure que je galère avec $\text{[math]}$ pour exprimer les trois racines en fonction de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

invitefb392423 · 25/05/2008, 12h37

sauf si je peux utiliser $\text{[math]}$
Je vais bien finir par comprendre comment cela marche...

invite57a1e779 · 25/05/2008, 17h56

Envoyé par pointfixe

Cela fait une heure que je galère avec $\text{[math]}$ pour exprimer les trois racines en fonction de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

On vérifie facilement que $\text{[math]}$ n'as pas de racine dans $\text{[math]}$ , étant de degré 3, il est donc irréductible.

Donc $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , est un corps de rupture de $\text{[math]}$ .

Mais dans tout corps, les racines de $\text{[math]}$ sont les $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ décrit l'ensemble des racines $\text{[math]}$ -ièmes de l'unité.

Or, dans $\text{[math]}$ [/QUOTE], les racines cubiques de 1 sont 1,2 et 4. Donc, dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

invitefb392423 · 25/05/2008, 19h46

Ensuite je dois trouver l'orbite de $\text{[math]}$ sous l'action de $\text{[math]}$ .

pour cela je pense que je dois déjà trouver de quoi est composer $\text{[math]}$ , non?

Il est d'ordre 3: $\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

on remarque que $\text{[math]}$
donc: $\text{[math]}$ il est donc isomorphe à $\text{[math]}$

Pour l'orbite de $\text{[math]}$ je donne $\text{[math]}$ c'est juste ca???

Si "quelqu'un" pouvait me dire si c'est juste. Et pour que les choses soi plus claire est ce qu'on pourrait me donner exemple sur un corps fini avec un polynôme et que le groupes galois soit isomorphe à $\text{[math]}$ ?

invite57a1e779 · 25/05/2008, 21h42

Envoyé par pointfixe

Ensuite je dois trouver l'orbite de $\text{[math]}$ sous l'action de $\text{[math]}$ .

pour cela ...

Pour l'orbite de $\text{[math]}$ je donne $\text{[math]}$ c'est juste ca???

Si "quelqu'un" pouvait me dire si c'est juste. Et pour que les choses soi plus claire est ce qu'on pourrait me donner exemple sur un corps fini avec un polynôme et que le groupes galois soit isomorphe à $\text{[math]}$ ?

Tes calculs sont corrects.

Une petite question : qui est $\text{[math]}$ ?

invitefb392423 · 26/05/2008, 11h48

$\text{[math]}$ ?

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