Théorie de Galois et compagnie

[invitefb392423]

Une petite question : qui est ?

je ne sais pas si j'ai bien compris cette question?
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[invite57a1e779]

je ne sais pas si j'ai bien compris cette question?

Tu as bien compris la question, mais n'est pas vraiment

Seconde question, comment "fabriquer" un corps fini avec ?

[invitefb392423]

Il est isomorphe je voulais dire.
Pour la seconde question je dirais que l'extension doit être de degré 6. Et ensuite il doit y avoir des conditions sur les racines je pense...
Je peux avoir la réponse à ces questions? ou une troisième question?
(si quelqu'un connait un endroit ou un livre avec pleins d'exercices corrigés sur les groupes de Galois)

[invite57a1e779]

Non n'est pas , mais !!!

Je modifie ma deuxième question. Si est une extension intermédiaire entre et , que peux-tu dire de et , relativement à

[invitefb392423]

Non n'est pas , mais !!!

Oui évidemment...

Je modifie ma deuxième question. Si est une extension intermédiaire entre et , que peux-tu dire de et , relativement à

Des sous groupes?

[invite57a1e779]

Des sous groupes?

C'est un ballon d'essai, ou as-tu des éléments de réponse par la théorie de Galois ?

[invitefb392423]

si mon extension est galoisienne je sais que c'est un sous groupe distingué de mon groupe de Galois...

[invite57a1e779]

si mon extension est galoisienne je sais que c'est un sous groupe distingué de mon groupe de Galois...

On progresse lentement...
Ici, quelles peuvent être les groupes de Galois des extensions galoisiennes ?
Quelles sont les extensions de ?
Peuvent-elles ne pas être galoisiennes ?
Peux- tu répondre à ta question initiale sur une extension de groupe ?

[invitefb392423]

Bon une extension finie d'un corps fini est galoisienne.
Et donc l'ordre du groupe est égal au degré de l'extension.
Donc déjà si je veux je doit avoir une extension de degré 6...
Et je sais que si elle est cyclique elle va être forcément isomorphe à le classe modulo n. (de tout façon avec degré 6 elle ne sera pas cyclique)

[invite57a1e779]

Bon une extension finie d'un corps fini est galoisienne.
Et donc l'ordre du groupe est égal au degré de l'extension.
Donc déjà si je veux je doit avoir une extension de degré 6...
Et je sais que si elle est cyclique elle va être forcément isomorphe à le classe modulo n. (de tout façon avec degré 6 elle ne sera pas cyclique)

Tu te perds dans tes théorèmes sur les groupes de Galois :
Une extention , de degré 6 sur , est un espace vectoriel de dimension 6 sur , donc un corps à éléments, et par suite est isomorphe à : son groupe de Galois est cyclique, isomorphe à .

Le degré 6 n'est pas particulier : toute extension de est isomorphe à un de groupe de Galois cyclique : ce ne sera jamais .

[invitefb392423]

Oui merci c'est logique...
Je vais me lancer dans un exercice qui va me permettre de faire le point.

Voici l'exercice:

(a) Déterminer le degré sur le corps de base d'un corps de décomposition du polynôme sur et sur .

(b) Dans chaque cas, déterminer si le groupe de Galois correspondant est isomorphe à ou à .

Je fais cet exercice et je donnerais ma solution détaillée et bien rédigée...

[invitefb392423]

Je commence sur .
étant algébriquement clos il est corps de décomposition de tous les polynômes de . De plus Par suite
Et de un.

[invitefb392423]

Sur .

Soit avec .
On a
Le discriminant de étant négatif nous avons deux racines complexes conjuguées.
Notons une racine complexe
on a
donc et est bien corps de décomposition de
On a et avec la conjugaison complexe. Finalement
C'est toujours bon?

[invite57a1e779]

Les extensions sur ou sur ne posent guère de problèmes...

[invitefb392423]

Sur .

Je commence par vérifier que ne possède pas de racine rationnelle.
Ensuite je calcul le discriminant qui est strictement négatif (-31) donc une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
Soient la racine réelle et une des racines complexe.
Comme est irréductible sur on a

de plus qui est inclu dans
Donc
On en déduit que
et donc: est soit isomorphe à soit à
Par contre j'aimerais bien expliciter l'isomorphisme... Là j'ai besoin d'un coup de pouce...

[invitefb392423]

Je sais que c'est Mais je dois le montrer... Peut-être avec un théorème si je n'arrive pas à expliciter l'isomorphisme....

[invite57a1e779]

Je sais que c'est Mais je dois le montrer... Peut-être avec un théorème si je n'arrive pas à expliciter l'isomorphisme....

Le groupe de Galois est un sous-groupe du groupe des permutations des racines : ici, c'est un sous-groupe de , ce ne peut donc pas être .

[invitefb392423]

Une question... Un corps fini est parfait, donc d'après le théorème de l'élément primitif je dois toujours pouvoir exprimer les racines les une en fonction des autres c'est bien ça? (c'est pour ).

[invitefb392423]

Le groupe de Galois est un sous-groupe du groupe des permutations des racines : ici, c'est un sous-groupe de , ce ne peut donc pas être .

En fait d'ordre 6 avec trois racine c'est forcément
Mais d'ordre 6 avec 6 raine on aura le croupe cyclique. ok.