Il est isomorphe je voulais dire.
Pour la seconde question je dirais que l'extension doit être de degré 6. Et ensuite il doit y avoir des conditions sur les racines je pense...
Je peux avoir la réponse à ces questions? ou une troisième question?
(si quelqu'un connait un endroit ou un livre avec pleins d'exercices corrigés sur les groupes de Galois)
Nonn'est pas
, mais
!!!
Je modifie ma deuxième question. Siest une extension intermédiaire entre
et
, que peux-tu dire de
et
, relativement à
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si mon extension est galoisienne je sais que c'est un sous groupe distingué de mon groupe de Galois...
On progresse lentement...
Ici, quelles peuvent être les groupes de Galois des extensions galoisiennes ?
Quelles sont les extensions de?
Peuvent-elles ne pas être galoisiennes ?
Peux- tu répondre à ta question initiale sur une extension de groupe?
Bon une extension finie d'un corps fini est galoisienne.
Et donc l'ordre du groupe est égal au degré de l'extension.
Donc déjà si je veuxje doit avoir une extension de degré 6...
Et je sais que si elle est cyclique elle va être forcément isomorphe à le classe modulo n. (de tout façon avec degré 6 elle ne sera pas cyclique)
Tu te perds dans tes théorèmes sur les groupes de Galois :Bon une extension finie d'un corps fini est galoisienne.
Et donc l'ordre du groupe est égal au degré de l'extension.
Donc déjà si je veuxje doit avoir une extension de degré 6...
Et je sais que si elle est cyclique elle va être forcément isomorphe à le classe modulo n. (de tout façon avec degré 6 elle ne sera pas cyclique)
Une extention, de degré 6 sur
, est un espace vectoriel de dimension 6 sur
, donc un corps à
éléments, et par suite
est isomorphe à
: son groupe de Galois est cyclique, isomorphe à
.
Le degré 6 n'est pas particulier : toute extension deest isomorphe à un
de groupe de Galois cyclique : ce ne sera jamais
.
Oui merci c'est logique...
Je vais me lancer dans un exercice qui va me permettre de faire le point.
Voici l'exercice:
(a) Déterminer le degré sur le corps de base d'un corps de décomposition du polynômesur
et sur
.
(b) Dans chaque cas, déterminer si le groupe de Galois correspondant est isomorphe àou à
.
Je fais cet exercice et je donnerais ma solution détaillée et bien rédigée...
Je commence sur.
étant algébriquement clos il est corps de décomposition de tous les polynômes de
. De plus
Par suite
Et de un.
Sur.
Soitavec
.
On a
Le discriminant deétant négatif nous avons deux racines complexes conjuguées.
Notonsune racine complexe
on a
doncet
est bien corps de décomposition de
On aet
avec
la conjugaison complexe. Finalement
C'est toujours bon?
Les extensions surou sur
ne posent guère de problèmes...
Sur.
Je commence par vérifier quene possède pas de racine rationnelle.
Ensuite je calcul le discriminant qui est strictement négatif (-31) donc une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
Soientla racine réelle et
une des racines complexe.
Commeest irréductible sur
on a
de plusqui est inclu dans
Donc
On en déduit que
et donc:est soit isomorphe à
soit à
Par contre j'aimerais bien expliciter l'isomorphisme... Là j'ai besoin d'un coup de pouce...
Je sais que c'estMais je dois le montrer... Peut-être avec un théorème si je n'arrive pas à expliciter l'isomorphisme....
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Une question... Un corps fini est parfait, donc d'après le théorème de l'élément primitif je dois toujours pouvoir exprimer les racines les une en fonction des autres c'est bien ça? (c'est pour).