définition du produit tensoriel de deux Hilbert

[invite11f2a3ff]

Bonjour,

J'aimerais avoir une définition mathématique précise de la notion de produit tensoriel de deux espaces de Hilbert. Je sais en dire des choses en méca Q quand je manipule des vecteurs, je comprends ce qu'on en fait car je l'utilise fréquemment en physique, et j'ai un travail à faire en mathématiques (et pas en physique) sur le formalisme mathématique de cette même méca Q (niveau L3-M1), mais je n'ai pas de définition claire du produit tensoriel. Ma question est donc la suivante :

Soit et deux espaces de Hilbert. Quelle est la définition de ?

Plus précisément, j'aimerais pouvoir dire en termes précis pourquoi est isomorphe à

Merci beaucoup
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[invite4ef352d8]

Salut !



Si on veut vraiment aller au fond des choses, le produit tensoriel de deux R espace vectorielle U et V (on pourait meme dire deux A module...) est définit de la facon suivante (je te laisse adapter si tu avait C à la place de R) :


U tenseur V est construit en considérant le R espace vectorielle de Base U*V (le produit standart), quotienté par la relation d'équivalence engendré par les relation suivantes : a.(u,v) = (a.u,v) = (u,a.v), (u,v+w)=(u,v)+(u,w), (u+v,w)=(u,w)+(v,w)

(j'espère que j'ai rien oublié ? )

Ce dont tu parle est à un niveaux au dessus : il faut définir des notion topologiques. j'avoue ne jammais avoir réfléchie à cela, mais d'un point de vue purement algébrique on a :

quand tu as une application linéaire f sur U tenseur V (à valeur dans un ev E quelconque...) , elle induit une application bilinéaire sur U*V définit par (u,v) -> f(u tenseur v).

La propriété universelle du produit tensoriel est que cettez corespondance est bijective.(ie toute application bilinéaire sur U*V corespont à une unique forme linéaire sur U tenseur V). J'imagine qu'on définit la topologie sur U tenseur V de telle sorte que cette correspondance envoie les applications continus sur des applications continus.

Apres le résultat que tu cherche à montrer est assez simple :

on à une application bilinéaire naturelle de L(H1)*L(H2) dans L(H1 tenseur H2) :
(f,g) -> f tenseur g.

ou f tenseur g est l'application linéaire qui prolonge (x tenseur y) ->f(x) tenseur f(y) (constuit en utilisant encore la propriété universelle)

en utilisant encore la propriété universelle, cette application ce relève donc en un application linéaire de L(H1) tenseur L(H2) -> L(H1 tenseur H2).

en travaillant un peu (y a pas mal de boulot en réalité... il nous à fallut plusieur semaines de cours pour étudier cela quand meme ^^ ) on montre que cette applicattion est bien un isomorphisme.


ce qu'il faut voir la dedans, c'est que le produit tensorielle est une notion extrement intuitive, dont la construction est la définition l'est beaucoup moins.

(surtous en physique), il ne faut surtous pas utiliser cette construction rigoureuse, sauf vraiment quand il y à un point "pas claire"

Ici par exemple, cette isomophisme est assez naturel :
si f et g sont des application linéaire sur H1 et H2, tu sais définit une application f tenseur g sur H1 tenseur H2, donc tu te rend compte qu'à un élément de L(H1) tenseur L(H2) tu sais faire correspondre un element de L(H1 tenseur H2).

Enfin si tu veux vraiment rentrer dans le détail je peut te trouver des polys de cours la dessus, mais c'est beaucoup de boulot à étudier et je sais pas si ca vaut vraiment le coup ...

[invitebe0cd90e]

Je ne sais pas si tu trouveras ca plus clair ou au contraire plus obscure, mais tu peux aussi voir ca d'un point de vue plus "categorique".

Moralement, tu peux considerer les espaces vectoriels comme des objets à part entière, et de ce point de vue la somme directe et le produit tensoriel correspondent simplement respectivement a une "addition" et a une "multiplication" de ces objets.

Par ailleurs, tu peux voir le fait d'associer a un e.v. l'espace de ses formes lineaires comme une sorte d' "application" sur ces objets. En gros tu as un truc qui ressemble a une application, notée L( ) qui prend en entrée un espace vectoriel et en retourne un autre. En un sens, cette "application" est compatible avec la "multiplication", de la meme maniere qu'une application lineaire est compatible avec la multiplication par un scalaire, par exemple..

[invite11f2a3ff]

Merci, je pense que ça m'éclairera déjà pas mal. Merci pour vos réponses, je vais essayer de m'en tirer avec ça.

A plus

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