Mécanique Quantique et produit tensoriel

[invitec6639b09]

L'apparition du produit tensoriel en mécanqiue quantique est elle démontrable ou est ce uniquement un postulat ???
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[mariposa]

L'apparition du produit tensoriel en mécanqiue quantique est elle démontrable ou est ce uniquement un postulat ???

Supposons que tu as 2 particules A et B indépendantes chacune d'elles étant décrite dans dans espaces de Hilbert h1 et h2. Si |Fa> est un etat propre de h1 et |Fb> un état propre de h2 il est naturel de penser que le système A+B est dans un etat propre |Fa>|Fb>.

plus généralement l'espace de Hilbert de A +B sera le produit tensoriel des 2 espaces. On aura ainsi un espace pour décrire le mouvements des particules couplés. Un opérateur couplant les particules pourra avoir la forme D1.D2 où D1 agit dans h1 et D2 agit h2. Les états propres de D1.D2 seront une certaine combinaison linéaire des produits tensoriels.
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Volià l'esprit qui amène a introduire le produit tensoriel des espaces de Hilbert, ce qui parait somme toute logique.

[invite8ef897e4]

Bonjour

L'apparition du produit tensoriel en mécanqiue quantique est elle démontrable ou est ce uniquement un postulat ???

La question ainsi formulee ne me semble pas vraiment faire de sens. Une autre facon de voir les choses : l'apparition des vecteurs dans la mecanique Newtonienne est-elle demontrable ? On peut tres bien formuler la mecanique newtonienne sans vecteur, mais se priver de l'outil ne rend pas les choses plus simples... De meme, on peut faire de l'electromagnetisme avec les equations de Maxwell sans utiliser la notion de gradient, divergence ou rotationel. C'est ce que Maxwell lui-meme faisait, cela fait des equations horribles c'est tout.

D'autres auront sans doute un autre avis, mais je ne pense pas que la formulation de la mecanique quantique requiert de facon indispensable l'utilisation de produits tensoriels. C'est juste plus clair avec, c'est tout.

[mariposa]

D'autres auront sans doute un autre avis, mais je ne pense pas que la formulation de la mecanique quantique requiert de facon indispensable l'utilisation de produits tensoriels. C'est juste plus clair avec, c'est tout.

A mon avis cela découle de ce que j'ai évoqué precedemment.

Si tu 2 particules indépendantes sont décrites par des espaces de Hilbert indépendants. Alors le système de ces 2 particules indépendantes considérées comme un tout est logiquement décrit par un espace de Hilbert produit de ces espaces.
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c'est le même raisonnement qui consiste en mécanique classique à décrire un système de 2 particules par le produit cartésien de leur espace séparés. Par exemple espaces de phases.
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Produit cartésien ou produit tensoriel c'est presque kiff-kiff

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec6639b09]

Ok merci pour vos réponses, donc la fonction d'onde globale qui dépend des coordonnées de toutes les particules sera une c.l. de produits tensoriels , dans tous les cas ? atomes par exemple ? car dans le cas des atomes cela ne colle pas avec l'approximation orbitalaire ...

[deep_turtle]

Salut,

Si |Fa> est un etat propre de h1 et |Fb> un état propre de h2 il est naturel de penser que le système A+B est dans un etat propre |Fa>|Fb>.

ça semble osé de parler de "naturalité" dans un domaine où toutes les intuitions s'effondrent assez rapidement...

Perso ce que tu énonces me semble le plus simple au niveau de la structure mathématique, mais ça ne me semble pas du tout évident que la nature doive être comme ça !

[deep_turtle]

dans le cas des atomes cela ne colle pas avec l'approximation orbitalaire ...

Heu.. Si, tu calcules les états à un électron, en croisant les doigts pour que l'influence des autres électrons se résume à peu près à un potentiel effectif, puis tu fais un déterminant de Slater de tous les états ainsi obtenus, qui correspond exactement à une CL... J'ai pas compris ta remarque/question ?

[mariposa]

Ok merci pour vos réponses, donc la fonction d'onde globale qui dépend des coordonnées de toutes les particules sera une c.l. de produits tensoriels , dans tous les cas ? atomes par exemple ? car dans le cas des atomes cela ne colle pas avec l'approximation orbitalaire ...

Qu'appelle-tu approximation orbitalaire.

[deep_turtle]

Hop une def !

[mariposa]

Salut,


ça semble osé de parler de "naturalité" dans un domaine où toutes les intuitions s'effondrent assez rapidement...

Perso ce que tu énonces me semble le plus simple au niveau de la structure mathématique, mais ça ne me semble pas du tout évident que la nature doive être comme ça !

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Bonjour,


J'ai d'abord donné une réponse très rapide que j'ai améliorée ensuite mais que je peux développer proprement.

Si tu acceptes les postultats de la MQ (difficile de faire autrement) qui en très court consiste a dire qu'a 1 particule tu associes un opérateur h qui agit dans un espace de Hilbert alors inévitablement l'espace de Hilbert de 2 particules c'est le produit tensoriel des 2 espaces de hilbert. L'Hamiltonien H s'écrit alors

H = h1.I + I.h2
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Tu peux vérifier les lois de probabilités dans cet espace produit.

Si cela ne te convaint pas regarde comment en mécanique classique on décrit la dynamique de 2 particules. Dans ce cas il s'agit du produit cartésien de 2 espaces de phase.
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A une coordonnée de l''espace de phase de la mécanique classique "correspond" un état de l'espace de Hilbert. De même que l'évolution dans l'espace de phase paramétré par le temps "correspond" la dynamique d'un vecteur de l'espace de Hilbert paramétré par le temps. etc..
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Bref la MQ est d'une certaine façon une une transposition mathématique de la physique classique

[mariposa]

Hop une def !

C'est une expression à banir totalement qui ne fait que multiplier inutilement le vocabulaire. Il s'agit tout simplement de ce que l'on appelle usuellement une approximation à 1 électron (pour se "débarrasser" du pb à N corps), approximation appartenant à la catégorie des champs moyens.
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[deep_turtle]

J'ai bien compris ton argument, mais je persiste à dire que c'est osé de penser que ce qui est naturel mathématiquement doit décrire la physique de notre monde. Je ne dis pas que c'est faux ou non fondé, juste que c'est osé...

On pourrait imaginer que la procédure propre qui te semble naturelle ne marche pas du tout quand on l'applique à la physique.

[mariposa]

J'ai bien compris ton argument, mais je persiste à dire que c'est osé de penser que ce qui est naturel mathématiquement doit décrire la physique de notre monde. Je ne dis pas que c'est faux ou non fondé, juste que c'est osé...

On pourrait imaginer que la procédure propre qui te semble naturelle ne marche pas du tout quand on l'applique à la physique.

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Je comprends bien ton argument. Toutefois si cela ne marchait ce sont les postulats de la MQ qui seraient en cause et non pas la tensorialisation.