Résolution équation différentielle de transport d'un produit réactif

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J'ai un système physique décrit par une équation de transport d'un produit réactif. Cette réaction ne peut avoir lieu qu'un présence d'un autre produit qui disparait lui aussi avec la réaction.

Je recherche donc la solution analytique sur x>0 et t>0 du système suivant :

C(x,t) et e(x,t) sont mes fonctions recherchées avec C(x,t) =>0 et e(x,t) =>0

dC(x,t)/dt + u.dC(x,t)/dx + a.H(e).C(x,t) = 0
de(x,t)/dt = -b.H(e).C(x,t)
H(e) est la fonction d'Heaviside

mes conditions initiales sont
e(x,0) = e0
C(x,0) = 0
C(0,t) = C0 pour 0<t<T
C(0,t) = 0 pour T<t

La solution analytique est évidente avec des transformées de Laplace dans le cas particulier où H(e) =1 quelque soit x et t (i.e. si e(x,t) est toujours >0)

Quelle est la solution analytique de ce système dans le cas général (je ne sais pas si cela est possible) car a priori e(x,t) s'annule à un moment ou à un autre quelque soit x. La difficulté réside dans le fait que j'ai un coefficient non constant qui est une fonction composée d'une de mes inconnues...

Merci pour votre aide
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[invite53464a3d]

Mon post précedent n'étant pas forcément très clair, je me permets de le compléter par ces quelques lignes ci-dessous (je n'arrive à modifier le post original)
Je recherche un peu d'aide qui me permette d'avancer dans la résolution de mon problème.
J'ai un système physique décrit par une équation de transport d'un produit réactif. Cette réaction ne peut avoir lieu qu'en présence d'un autre produit qui disparait lui aussi au cours de la réaction. Je passe ici sous silence la manière dont j'ai établi cette équation car elle présente peu d'intéret pour sa résolution.

C(x,t) et e(x,t) sont mes fonctions recherchées avec C(x,t) =>0 et e(x,t) =>0 par construction (une quantité de matière ne pouvant être négative)

Je recherche donc la solution analytique sur x>0 et t>0 du système suivant :
dC(x,t)/dt + u.dC(x,t)/dx + a.H(e).C(x,t) = 0
de(x,t)/dt = -b.H(e).C(x,t)
avec H(e) = 0 si e(x,t)=0
et H(e) = 1 si e(x,t)>0

mes conditions initiales sont
e(x,0) = e0
C(x,0) = 0
C(0,t) = C0 pour 0<t<T
C(0,t) = 0 pour T<t

La solution analytique est évidente avec des transformées de Laplace dans le cas particulier où H(e) =1 quelque soit x et t (i.e. si e(x,t) est toujours >0)

Pour info dans ce cas les solutions analytiques sont:

C(x,t)=C0.exp(-ax/u).(H(x/u,t)-H(x/u+T,t))
H(x/u,t) tel que H(x/u,t)= 0 pour 0<t<x/u
et H(x/u,t)= 1 pour x/u<t

H(x/u+T,t) tel que H(x/u+T,t)= 0 pour 0<t<x/u+T
et H(x/u+T,t)= 1 pour x/u+T<t

e(x,t)=e0-b.exp(-ax/u).(R(x/u,t)-R(x/u+T,t))
R(x/u,t) tel que R(x/u,t)= 0 pour 0<t<x/u
et R(x/u,t)= t-x/u pour x/u<t

R(x/u+T,t) tel que R(x/u+T,t)= 0 pour 0<t<x/u+T
et R(x/u+T,t)= t-(x/u+T) pour x/u+T<t
On peut donc facilement constater que e(x,t) s'annule au cours du temps.
En particulier e(0,t)=0 pour t=e0/a.C0=T1
ceci restreint donc le domaine de validité de mes hypothèses à t<T1.

Cependant je suis dans le cas de figure ou T>T1, donc H(e) varie avec x et t.
C'est ici que commence mon problème car je ne trouve pas de solution analytique à ce système (je ne sais d'ailleurs pas si cela est possible) car a priori e(x,t) s'annule à un moment ou à un autre quelque soit x. La difficulté réside dans le fait que j'ai un coefficient non constant qui est une fonction composée d'une de mes inconnues...

Un peu d'aide SVP...