DM de math, un de plus

[invite4e79ea66]

voilà j'avais à faire pour aujourd'hui un DM avec pas mal d'exercices dont un de spé (je suis en terminale).J'ai bloqué sur une question mais je vous donne quand même les questions antérieures car elles nous guident

1°Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers (je l'ai fait, j'ai utilisé un résonnement par l'absurde)

2°Démonter que p nombre premier strictement supérieur à 2 est congru à 1 ou à -1 modulo 4 (j'ai démonté que les nombres impairs étaient congrus à -1 ou à 1 [4] j'ai fais N=2n+1 1er cas "n est paire" donc N=2*2n'+1=4n'+1 qui prouve que A est congru à 1 [4] .2eme cas"nest impaire" donc A=2*(2n'+1)+1=4n'+3 et 3 est congru à -1 [4] ....

3°A=le produit des nombres premiers congrus à -1 [4] et B=4A-1. Démontrer que B est congru à -1 [4] (je l'ai démonter à l'intuitif 4A est divisible par 4 donc congru à zéro [4] donc 4A-1 est congru à -1 [4])

4°Soit q un diviseur premier de B. Montrer que q est distinct de chacun des nombres p(indice k)précédents(p indice k c'est le produit des nombres premiers congrus à -1 [4]) . Montrer que parmi les diviseurs premiers de B ,l'un au moins est congru à -1 [4] et alors là c'est fini je fais un blocage mon cerveau n'a plus aucune idées, c'est pas faute d'avoir cherché!

5°Le but de cet exercice est de répondre à la question :les nombres premiers congrus à -1 [4] sont ils en nombres finis ? intuitivement j'ai répondu qu' ils sont infinis mais à cause de la question 4 je n'ai rien pu démontrer

Si vous pouviez me donner une piste pour que je puisse résoudre par mes propres moyens cette fichue question ça m'aiderai merci je tiens à re-préciser que j'ai déjà rendu mon DM
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[shokin]

Arg ! c'est pas ma tasse de thé les nombres premiers !

Mais paraît qu'il y a déjà eu pas mal de sujets là-dessus. Et si tu faisais une recherche (sur la barre du haut du forum, blanc sur orange) ?

Shokin

[g_h]

4)
Soit I l'ensemble des diviseurs premiers de A ( = {3, 7, 11, ..., 4n+3}
Car si je comrends bien, on suppose que I a une nombre fini d'éléments. (démo par l'absurde)

donc
pour tout p € I

A = 0 [p] (car p divise A)
donc 4A = 0 [p]
donc 4A-1 = -1 [p]
donc B = -1 [p]
donc B = p-1 [p]
or, p-1 différent de 0 car p >= 3, donc aucun nombre premier de la forme 4k+3 ne divise B (car tous ces nombres sont dans I)


5)
Or, B = 4A-1
Donc B = 3 [4]

Mais d'après 2) et 4), tous les diviseurs premiers de B sont de la forme 4k+1, car aucun n'est de la forme 4k+3
Donc en les multipliant tous, on trouve B = 1 [4]
Car 4k+1 = 1 [4] pour tout k

Contradiction !!
B n'est pas congru à 1 modulo 4, donc l'hypothèse de départ est fausse : I est un ensemble infini, il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3 (ou 4k-1, c'est pareil)

Je te laisse comprendre tout ça...

[invite4e79ea66]

4)
Soit I l'ensemble des diviseurs premiers de A ( = {3, 7, 11, ..., 4n+3}
Car si je comrends bien, on suppose que I a une nombre fini d'éléments. (démo par l'absurde)

donc
pour tout p € I

A = 0 [p] (car p divise A)
donc 4A = 0 [p]
donc 4A-1 = -1 [p]
donc B = -1 [p]
donc B = p-1 [p]
or, p-1 différent de 0 car p >= 3, donc aucun nombre premier de la forme 4k+3 ne divise B (car tous ces nombres sont dans I)


5)
Or, B = 4A-1
Donc B = 3 [4]

Mais d'après 2) et 4), tous les diviseurs premiers de B sont de la forme 4k+1, car aucun n'est de la forme 4k+3

juque là je t'ai suivi

4)Donc en les multipliant tous, on trouve B = 1 [4]
Car 4k+1 = 1 [4] pour tout k

Là je ne comprends plus tu pars du principe que TOUS les diviseurs de B sont de la forme 4k+1 or rien ne nous dis qu'il n'y a pas des diviseurs non premiers et dans ces cas là ton résonnement n'est plus valable . Enfin je crois

Contradiction !!
B n'est pas congru à 1 modulo 4, donc l'hypothèse de départ est fausse : I est un ensemble infini, il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3 (ou 4k-1, c'est pareil)

Je te laisse comprendre tout ça...

J'ai compris si on admet que B n'a que des nombres premiers comme diviseurs ,mais je n'ai certainementpas tout compris en tout cas merci beaucoup et je tenais à te dire que ta démo était très jolie .
PS: shokin,je ne pense pas que les discutions auparavant ouvertes sur les nombres premiers voir même sur les congruences puissent m'aider mais je vais quand même aller y faire un tour c'est gratuit et souvent enrichissant

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e79ea66]

4)
Soit I l'ensemble des diviseurs premiers de A ( = {3, 7, 11, ..., 4n+3}
Car si je comrends bien, on suppose que I a une nombre fini d'éléments. (démo par l'absurde)

donc
pour tout p € I

A = 0 [p] (car p divise A)
donc 4A = 0 [p]
donc 4A-1 = -1 [p]
donc B = -1 [p]
donc B = p-1 [p]
or, p-1 différent de 0 car p >= 3, donc aucun nombre premier de la forme 4k+3 ne divise B (car tous ces nombres sont dans I)

eh non je me suis tromper je ne suis pas d'accord si tu relis la fin de la question 4 on nous demande de montrer que parmi les diviseurs de B l'un au moins est congru à -1[4] tu viens de prouver qu'il en existe aucun bizarre bizarre

[invite4e79ea66]

J'arrive plus à effacer mon post 4 le délai est écoulé

[g_h]

Note bien ce que j'ai écrit :
Soit I l'ensemble des diviseurs premiers de A ( = {3, 7, 11, ..., 4n+3} )
donc aucun nombre premier de la forme 4k+3 ne divise B

Je parle de nombres premiers !!

Je démontre ainsi que si I est un ensemble fini, tous les diviseurs PREMIERS de B sont de la forme 4k+1, je dis pas du tout que tous les diviseurs de B sont premiers, ce qui est faux !

Donc AUCUN nombre premier 4k+3 ne divise B, donc q est distinct de tous les éléments de I, exactement ce que tu veux démontrer au 4 !

Tu es daccord que le produit de tous les nombres premiers qui divisent B est égal à B
Comme tous ces nombres sont congrus à 1 modulo 4
alors dans ce cas, B est congru à 1 modulo 4, ce qui est faux, car B est congru à 3 modulo 4 !

Donc tous les diviseurs premiers de B ne sont pas de la forme 4k+1
Donc au moins un nombre premier divisant B est de la forme 4k+3
On l'appelle E
E = 4k+3 avec k donné

On sait que :
B = p-1 [p] pour tout p appartenant à I, et p-1 != 0
et E divise B
donc B = 0 [E]

Donc p != E
E est un nombre premier de la forme 4k+3, et pourtant il n'appartient pas à I
Or I est censé contenir tous les nombres premiers de cette forme.

Contradiction, donc l'hypothèse de départ est fausse : I n'est pas un ensemble fini.


N'oublie pas que c'est une démonstration par l'absurde : je démontre des choses fausse à partir d'une hypothèse, et si ce que je démontre est faux, alors l'hypothèse est fausse.

[invite4e79ea66]

Mes plus plates excuses les extra terrestres se sont emparés de mon cerveau pendant un laps de temps: le temps que je lise ton post que je le comprenne de travers que je dise pleins de bétises et que j'éteigne mon ordi pour justement ne pas les voir. Non plus sérieusement j'avais pas du tout compris où tu voulais en venir(ça a du se voir ) mais maintenant ça va mieux je te remercie .
cécile

[invite595160e3]

Excusez moi pouvez vs m aider a résoudre ce probleme de math de seconde


On dispose de deux sortes de cubes, les uns de 3cm d'arrete et les autres de 7cm d erete.
En posant les cubes les unes sur les autres, on obtient une pile de 5.2m de hauteur.
Si l on veut remplir tous les cubes ac de l eau, il faut exactement 10lite=res.
Derterminer le nombre total de cubes