Je suis passionné par cette question qui fut proposée il y a 300 ans par Leibniz: on devrait pouvoir écrire les figures comme on a su écrire les mots puis les nombres. Sur le site Gallica de la bibliothèque de France on peut consulter l'excellent ouvrage de Louis Couturat "La Logique de Leibniz" qui parle de cette recherche de Leibniz. Et c'est tout à fait étonnant que 300 ans après on ait toujours pas trouvé moyen de réaliser ce projet.
Qui est preneur?
Salut!
Quelle belle question... Ceci dit, je n'imagine pas tellement ce que cela voudrait dire...
Un débat peut quand même être ouvert à ce sujet!!!
Je crois qu'il faut d'abord dire ce que cela veut dire écrire les mots et écrire les nombres...
Dans ces deux cas, il y a un alphabet (a,b, ... ,z pour les mots, 0,1,2,...,9 pour les nombres )en base 10!!!).
Pour ce qui est du français :
à partir des lettres, on crée des mots qui ensuite s'assemblent pour donner des phrases, etc...
Pour ce qui est des nombres :
à partir des chiffres, on crée des nombres, etc...
On a donc, pour écrire besoin, visiblement besoin d'un alphabet!!!
J'imagine pas trop bien (pour l'instant, j'espère!) ce que pourrait être un alphabet de la géométrie
Avis aux amateurs...
On va prendre par exemple la chimie.
Avant Lavoisier la nature offrait plein de corps et de substances. Les alchimistes privilégiaient l'eau, la terre, .... Puis on s'est aperçu qu'il y avait un nombre bien déterminé de corps simples et que tous les autres corps étaient constitués de ces corps simples.
Il en est découlé une écriture des corps composés. On a écrit l'eau H2O, le sel NaCl etc etc. Et cette écriture avait ceci de prodigieux, c'est qu'on pouvait en déduire ensuite, ou presque, les propriétés des corps ainsi écrits.
Un peu plus tard, en géométrie, un grand savant, D Hilbert, fit la même simplification en géométrie. Il montra qu'on pouvait ici aussi se ramener à quelques propriétés élementaires qu'il appela axiomes. En continuant comme on l'avait fait en chimie on pouvait arriver ici aussi à une écriture des figures!
je dis ptet des bétises, mais...
c'est pas ce que fait les programmes de conception assistée par ordinateur comme catia et autres? :/ pourquoi aller chercher bien loin... définir des formes complexes à partir d'un petit nombre de caractéristiques.
Je ne sais pas assez bien comment fonctionnent ces programmes mais il me semble qu'on s'éloigne de la question posée qui est de savoir comment on pourrait écrire certains signes pour traduire une figure de la même façon qu'on écrit un mot pour traduire un concept ou un nombre pour traduire une grandeur.
La question de l'alphabet est donc la bonne question. Avec les hieroglyphes les égyptiens avaient une notation qui s'augmentait au fur et à mesure des besoins. La convention d'un alphabet de 25 lettres a fixé une fois pour toutes le nombre de signes à utiliser. Avec les chiffres romains il fallait une lettre pour le un, une pour le dix, une pour le cent, une pour le mille etc etc La convention des dix chiffres arabes a ici aussi fixé une fois pour toutes le nombre de signes à utiliser.
Or en géométrie D Hilbert a montré dans ses 21 axiomes qu'il y a trois relations nécessaires: le parallélisme, la congruence des segments et celle des angles. Alors il en résulte que l'alphabet qui permettrait d'écrire toutes les figures n'aurait à comporter que trois conventions de notations.
Cet "alphabet " serait donc plus simple que celui de la chimie, où il y a plus d'une centaine de corps simples, que celui de l'écriture des mots où il y a 25 lettres, que celui des nombres où il y a dix chiffres, que celui de la musique où il y a sept notes.
!!!!!.....
Voici les fameux axiomes...
http://www.math.jussieu.fr/~besnard/...ain/node9.html
Maintenant, les "faire parler", c'est autre chose...
(ceci dit, tout est relativement clair sur le lien ci-dessus, mais de la à écrire les figures!!!)
A bientot!
C'est très amusant ce dialogue car il fait penser à ceux de Socrate. Merci Poppels de votre participation. Continuons donc.
Si on va voir le site que vous donnez en référence on trouve effectivement les axiomes de D Hilbert. Ils sont divisés en groupes selon leurs natures: association, ordre, continuité et enfin congruence et parallélisme. Observons que les trois premiers groupes n'interviennent pas dans la "forme " des figures. Ils servent seulement à rendre rigoureuse la géométrie ainsi construite comme par exemple l'axiome "Si une droite entre dans un triangle alors forcément elle en sort etc etc.
Donc , en ce qui concerne la forme des figures nous n'avons à considérer que les trois axiomes suivants:
1° Parallélisme
2° Congruence des segments
3° Congruence des angles, dont Hilbert se sert pour définir l'angle droit. Aussi, avec votre permission, cette troisième propriété de D Hilbert sera remplacée par Perpendicularité qui fera donc pendant à Parallélisme.
Ces trois relations permettent effectivement de construire n'importe quelle figure de la géométrie. C'est ce que les anciens appelaient la construction à la règle et au compas. Plus tard Mascheroni a montré que le compas seul suffisait, mais cette virtuosité n'est pas notre sujet ici. Le problème, comme vous le dites si bien, est maintenant de trouver pour ces trois relations un codage opérationnel qui va être cette fameuse écriture des figures.
Sommes nous bien d'accord?
Nous sommes bien d'accord... Quoi que... Il y a un petit truc que je voudrais préciser : un première description, si on y arrive, sera une description des polygones (réguliers , irréguliers , tous mais polygones!). Je crois en effet qu'avec ces 3 axiomes, on reporte des longueurs, on regarde s'ils sont parrallèles, perpendiculaires, etc... donc j'imagine pas trop bien, à partir de cela, la description de la figure la plus parfaite : le cercle! Je suis donc d'accord avec toi si
figure = polygone en tous cas, dans un premier temps!
Maintenant qu'un point de départ est fixé, je vais tenter une petite approche :
Un polygone est composé de points et de segments.
Il est évident qu'on se comprend si on parle du polygone (P1,P2,P3,...,Pn).
Mais les points Pi ne font pas partie de l'alphabet qu'on essaye de se fixer! Donc on ne peut pas écrire les figures comme ça! (Enfin, c'est pas ce qu'on veut ici...)
Je ne sais pas si ça peut faire avance la chose, mais, pour "lire" et "traduire" une figure, on pourrait avoir quelque chose de ce genre :
[code:1:4c0517a687](longueur1 , angle1 , longueur2 , angle2 , ...) [/code:1:4c0517a687]
Il est évident que celui qui reçoit cela sait tracer la figure. Il est évident aussi que dans ce cas l'écriture n'est pas unique:
[code:1:4c0517a687](longueur2,angle2,...,long ueur1,angle1)[/code:1:4c0517a687]
On peut donc "coder" une figure de n manières différentes (n : nbre de cotés). (mais ça, je crois qu'on peut oublier que l'éciture soit unique!!!)
Je ne sais pas si la donnée des 3 axiomes seuls suffira pour décrire tous les polygones : la congruence des segments (des angles) ne sera pas suffisante (je pense) pour décrire toutes les longueurs (les angles) (je pense notamment aux longueurs et angles réels et non entiers!).
A bientôt!
N'oublions pas que nous voulons une écriture qui soit générale, c'est à dire qui permette certes d'écrire les polygones ( triangles, carrés, trapèzes,...) mais aussi les cercles par exemple, ce que ton écriture ne semblerait pas permettre.
Pour cela nous allons d'abord aller vers l'outil qui est actuellement utilisé: les complexes.
Dans le plan complexe soit un vecteur u d'affixe x+iy. Si on le multiplie par un complexe z il donne un autre vecteur v d'affixe x'+iy' par exemple. De même un vecteur u' multiplié par ce même complexe z donnerait un vecteur v'. On dit dans ce cas la qu'on passe de u à v et de u' à v' par la même similitude directe définie par ce complexe z.
Nous conviendrons alors d'écrire (u,v)=(u',v') . Et au contraire si on passe de u à v et de u' à v' par des similitudes inverses, c'est à dire si ces deux couples de vecteurs correspondent à des complexes non plus égaux mais conjugués nous écrirons (u,v)=)u',v'(
C'est alors qu'on remarque trois choses tout à fait surprenantes.
1°- L'équation (u,v)=)u,v( donne xy'-x'y=0 cad que les vecteurs u et v sont colinèaires !
2°- L'équation (u,v)=)v,u( donne x²+y²=x'²+y'² c'ad que les vecteurs u et v sont congruents, cad isométriques
3°- L'équation (u,v)=)u,-v( donne xx'+yy'=0 cad que les vecteurs u et v sont orthogonaux.
et ce sont justement les trois relations fondamentales dont nous avions déjà parlé ! . Il est amusant de constater à quel point les écritures sous cette forme se ressemblent, ressemblance qui ne se trouve ni dans l'écriture algébrique, ni dans la formulation textuelle. De plus leur expression est particulièrement simple.
Revenons aux points qui sont , même chez Hilbert, l'élément de base de la géométrie. On sait qu'un vecteur u peut s'écrire à l'aide de points, par exemple AB ou PQ ou MN.
Il en résulte que ces égalités nous donnent un codage des figures de la géométrie,codage sans exception puisque nous savons qu'il n'y a pas d'autres relations fondamentales en géométrie euclidienne. Par conséquent ce codage qui est général, et linéaire peut donc effectivement s'appeler une écriture des figures de la géométrie.
Prenons un exemple: le triangle isocèle ABC de sommet A va s'écrire (AB,AC)=)AC,AB(. Autre exemple: le cercle de centre A passant par B sera l'ensemble des points M tels que (AB,AM)=)AM,AB( et tout à l'avenant.
Mais ce qui est tout à fait intéressant c'est que ces écritures ne vont pas être simplement des conventions de notations, mais vont surtout être opérationnelles en ce sens que toutes, absolument toutes, les propriétés de la figure ainsi écrite sont contenues dans cette écriture, et qu'il suffira de savoir les en extraire.
Et pour les extraire il va suffire de connaitre quelques règles opératoires simples, de la même façon que lorsque les nombres ont été écrits avec les chiffres arabes il a suffi de quelques règles opératoires simples pour faire dés lors les additions, les multiplications ou les divisions.
Ce sera, si nous continuons à être d'accord, le sujet du prochain entretien.
A+
Salut!
Dois-je en conclure qu'il y a actuellement des recherches la-dessus?Envoyé par lucterius
Si oui, Qui? , Qu'ont-ils déjà trouvé? et Ou peut-on avoir les résultats?
Maintenant, pour ce qui est de ton dernier Post, je vais le relire attentivement ce week-end (et sans doute faire quelques dessins & constructions) pour essayer de bien capter tout ça. Ca a l'air, en tous cas, très intéressant.
Si j'ai le temps, j'essayerai de faire quelques petits trucs sous cabri (il y a quelques temps, j'avais chippoté un peu la multiplication complexe dans cabri...)
A bientôt
J'ai regardé un petit peu plus attentivement.
Il y a un truc que je capte pas trop bien :
Je pense que j'ai bien compris la première définition :
[code:1:1c5fe7a766] (u,v) représente u -- (Z) --> v cad v=u.Z cad Z=v/u
et donc :
(u,v) = (u',v') SSI v/u = v'/u'[/code:1:1c5fe7a766]
(est-ce bien cela???)
Par contre j'ai un petit problème pour la deuxième définition :
[code:1:1c5fe7a766] qu'entends-tu par "similitude inverse" : est-ce une similitude de complexe 1/Z ou alors de complexe (conjugué de Z)?[/code:1:1c5fe7a766]
Evidemment, je pense qu'avec les propriétés que tu donnes (colinéarité, isométrie et orthogonalité), je pourrai peut-être retrouver la bonne définition, mais tant qu'à faire, j'aime autant partir des définitions correctes (j'ai pas trop le temps, là, de chercher longuement...)
c'est évidemment du conjugué qu'il sagit. Quant à la théorie des complexes elle est suffisamment classique pour ne pas y revenir.
Pour ta première définition elle est éffectivement bonne. On peut donc dire que (u,v) sera considéré comme équipollent à (u'v') ssi les rapports v/u et v'/u' sont égaux. J'ai proposé de donner le nom de bivecteur à ces classes d'équivalence (certes bivecteur est un terme déjà pris en mathématique mais rien ne l'interdit. Par exemple un anneau désigne une figure et ...une structure)
Et de même (u,v)=)u'v'( ssi les rapports v/u et v'/u' sont des complexes conjugués.
Reprenons alors le fil de notre construction. Nous en étions restés à l'existence de plein de propriétés qui permettent de travailler avec les bivecteurs comme les lois sur les nombres permettent de faire des opérations.
Il est évident que dans ce forum on ne va pas pouvoir donner toutes ces propriétés. Donc prenons en une comme exemple:
Quand on se regarde dans une glace on a un beau cas particulier de figures inverses. Si je cligne de l'oeil droit, l'image cligne de l'oeil gauche. Mais si je me serre les mains l'image se serre aussi les mains. Si je mets les bras paralléles ou perpendiculaires, il en est de même pour l'image. Pour la théorie cela se traduit par le fait qu'un égalité (u,v)=)u',v'( se conserve si on y fait les mêmes manipulations dans les deux membres. Par exemple alors (u+v,u)=)u'+v',u'( ou (v,v-u)=)v',v'-u'( etc etc
Soit donc un triangle isocèle qui s'écrit (AB,AC)=)AC,AB( cette égalité donne donc aussi (AB+AC,AB-AC)=)AC+AB,AC-AB( cad (AB+AC,CB)=)AB+AC,BC( Elle traduit l'orthogonalité des vecteurs BC et AB+AC. Or tout élève de collège sait que le vecteur AB+AC est vecteur directeur de la médiane. Et on énonce : dans un triangle isocèle, la médiane est perpendiculaire à la base.
Il est amusant de voir comme tous les théorèmes élémentaires s'obtiennent par une démonstration aussi simple. On continuera ensemble dans les entretiens suivants à moins que vous ne m'en proposiez vous même en démonstration.
Evidemment , pour ces débuts, il faut viser à ce qui est simple. On ira plus loin seulement par la suite si les premières étapes n'ont pas été trop difficiles.
Il se trouve qu'un évènement inattendu m'oblige à interrompre cette discussion dont je remercie beaucoup Poppels. Je vais sans doute être absent du forum pendant plus d'un mois. Je le regrette vivement, et j'aimerais bien que certains visiteurs se plaisent à poursuivre cette exploration des possibilités que donnerait une écriture des figures. Je les assure que je reviendrai dès queje le pourrai car, je l'avais dit en ouverture, cette recherche initiée par Leibniz me passionne.
Pour information je vous suggère encore d'aller voir l'excllent livre de Louis Couturat en faisant http://gallica.bnf.fr>Recherche>Coutu rat> La logique de Leibniz.
A la page 388 commence l'exploration de ses recherches dans cette voie qu'il appelait Calcul Géométrique ou Analyse de la Situation. Comme il ne connaissait pas les classes d'équivalence il n'a pas pu aboutir. Mais, mon Dieu qu'il en avait une prémonition bien précise! Par exemple à la page 411 vous lirez: ....Le Calcul Géométrie doit donc considérer non seulement l'égalité des figures mais encore et surtout leur similitude; la théorie de la similitude est par suite le fondement de la véritable Analyse de la Situation.... et encore page 409-410 ...dans le Calcul Géométrique les lettres et les symboles quelconques ne représenteront plus des grandeurs ni des nombres comme en Algèbre, mais des points et des combinaisons de points....
Avec mes faibles connaissances informatiques j'ai exposé du mieux que j'ai pu les résultats auxquels je suis arrivé, sur le site http://euclide4.free.fr Mon idée serait de créer une espèce de Groupe de Soutien pour la diffusion de cette écriture. Au début j'ai pensé qu'une telle entreprise ne devrait pas poser de problèmes vu son louable motif et sachant que plein d'autres groupes se forment si facilement pour des motifs moins élevés. Or j'ai du déchanter et ceci explique le ton un peu polémique de ma FAQ. Qu'on veuille bien m'en excuser. N'hésitez pas à utiliser le lien donné pour me donner vos avis et éventuellement votre soutien.
Luctérius.
Je remonte ce post des oubliettes. Je pense qu'il faudrait que des physiciens aillent faire un tour sur le site de Luctérius. les éléments qu'il présente sur la géométrie me paraissent intéressant, et la symétrie qu'il met en évidence sur les propriétés fondamentales de la géométrie de base font échos à la puissance en physique des symétries... En plus c'est simple !
Pour rappel, la ralativité générale est d'abord une théorie géométrique, et on a vu la puissance qu'elle a.
Ici la propriété cachée de la géométrie pourrait aider à affiner notre intuition de la nature de l'espace-temps qui nous entoure.
