Suites et intégrales

[invite28064c19]

J'ai une question à résoudre mais je n'arrive pas à prouver rigoureusement le résultat : montrer qu'il existe une suite convergeant vers 0 dont le terme général ne peut pas s'écrire sous la forme de l'intégrale de 0 à 1 de f(x)*x^n, où f est une fonction continue de [0,1] dans R. Il m'est venu à l'idée d'essayer avec la suite en 1/ln(n) ou en n^(-1/2), mais je ne sais pas le prouver rigoureusment. Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Si où est continue sur , connais-tu (peux-tu donner) un équivalent simple de lorsque tend vers l'infini ?

[invite28064c19]

L'équivalent simple c'est 1/n - sur un segment, une fonction continue est bornée : il existe donc M > 0 tel que pour tout x € [0,1], |f(x)|< M, et intégrale de 0 à 1 de x^n dx = 1/(n+1)... Mais après, j'ai
n^(-1/2) = n^(1/2)*In --> 0 quand n --> infini et ça ne me permet pas de conclure. Il y a quelque chose à trouver, mais là, je ne vois vraiment pas...

[invite57a1e779]

L'équivalent simple c'est 1/n - sur un segment, une fonction continue est bornée : il existe donc M > 0 tel que pour tout x € [0,1], |f(x)|< M, et intégrale de 0 à 1 de x^n dx = 1/(n+1)

L'équivalent serait plutôt si , et, si , on a .

En fait ton idée est encore plus rapide : , donc , et la suite est bornée.

Avec , on a : la suite n'est pas bornée, et la suite n'est pas du type .

[A voir en vidéo sur Futura]