Dualité en mécanique quantique

[invite58110dc5]

Bonjour,

je suis entrain de comprendre quelque notions en mécanique quantique et j'ai rencontré ce théorème:

est isomorphe à , c'est-à-dire à tout ket correspond un bra et réciproquement.

ou est l'espace d'états (ket) et est son dual.

la démonstration était:

En effet, , on a où ( , ) est le produit scalaire dans .

je ne vois pas du tout en quoi cette démonstration répond au théorème. pouvez-vous m'aider à trouver la relation entre le théorème et cette épreuve?

merci infiniment d'avance.
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[invite93279690]

Il y a un truc sur le sujet dans le cohen chapitre II. Je ne me rappelle plus vraiment pourquoi mais ce "théorème" n'est pas toujours vrai en fait (il doit être vrai en dimension finie et pas forcément en dimension infinie ou un truc comme ça).

[invite9c9b9968]

Il l'est en dimension infinie si l'espace en question est un espace de Hilbert (d'où l'espace de Hilbert de la mécanique quantique )

C'est lié au théorème de représentation de Riesz (qui dit que l'adjoint d'un endomorphisme existe toujours dans un espace de Hilbert), une petite recherche autour de ce théorème devrait t'aider.

[inviteaeeb6d8b]

Hmmm... je ne suis pas tout à fait sûr, mais, ne faudrait-il pas - dans le cas où l'espace de Hilbert est de Dimension Infinie - qu'il soit également séparable...

non ?

(je peux me tromper)


Romain

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EDIT : ouh la ! j'ai dépassé les 3000 messages !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Hmmm... je ne suis pas tout à fait sûr, mais, ne faudrait-il pas - dans le cas où l'espace de Hilbert est de Dimension Infinie - qu'il soit également séparable...

non ?

(je peux me tromper)

Si si, aussi mais c'est toujours le cas pour les espaces pas trop pathologiques

(dit autrement, existe-t'il des espaces de Hilbert non séparables ? )

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EDIT : ouh la ! j'ai dépassé les 3000 messages !

[inviteaeeb6d8b]

Si si, aussi mais c'est toujours le cas pour les espaces pas trop pathologiques

(dit autrement, existe-t'il des espaces de Hilbert non séparables ? )

Tu as raison... je ne crois pas en avoir déjà rencontré... Mais ça doit bien exister !

[invite57a1e779]

Hmmm... je ne suis pas tout à fait sûr, mais, ne faudrait-il pas - dans le cas où l'espace de Hilbert est de Dimension Infinie - qu'il soit également séparable...

non ?

Il n'y a aucune condition de séparabilité, un Hilbert est toujours canoniquement isométrique à son dual.

[invitef591ed4b]

En effet, tout Hilbert est isomorphe à son dual (lemme de Riesz). Ceci dit, ce n'est pas le cas de certaines classes de fonctions abondamment utilisées en MQ, comme l'espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide (et il arrive qu'un bra ne corresponde à aucun ket). Donc faut faire attention à ce qu'on manipule.

[invite58110dc5]

C'est lié au théorème de représentation de Riesz (qui dit que l'adjoint d'un endomorphisme existe toujours dans un espace de Hilbert), une petite recherche autour de ce théorème devrait t'aider.

Bnojour,

je ne vois pas du tout comment appliquer la représentation de Riesz ici. peux-tu m'éclaircir un peu?

merci.