Bonsoir messieurs dames,
je suis nouveau sur ce forum, et espère y trouver des conseils de niveau maths spé
Pour mon premier message, j'aimerais que quelqu'un me communique la résolution de l'exercice suivant :
A et B sont deux matrices réelles carrées d'ordre n,
A et B commutent, A est nilpotente :
Montrer que det(A+B)=det(B)
Je passe peut-être les oraux de centrale dans deux semaines, alors j'ai grandement besoin de vos lumières!
Merci d'avance,
Carlos Hooker
Je vous demande pardon, A et B sont des matrices dans Mn(C) (j'avais dit Mn(R)),
merci de corriger,
Du fait que les matrices commutent, il te faut montrer qu'elles sont trigonalisables dans la même base. Le calcul de déterminant est alors trivial.Envoyé par Carlos Hooker
Ce n'est pas un théorème ça d'ailleurs (enfin je veux dire un théorème au programme) ?
Dans ce cas effectivement c'est d'une trivialité sans nom
Dans les compléments de programme obligatores pour futurs normaliens, peut-être, mais ce n'est pas dans le programme officiel du taupin lambda...Ce n'est pas un théorème ça d'ailleurs (enfin je veux dire un théorème au programme
pardon, mais A et B sont en fait à coefficients complexes, merci de corriger
Ok je ne le savais pas. Je ne me souviens plus si je l'ai vu en prépa ou après, d'où ma question
Oui, de ce fait, elles sont trigonalisables.
L'hypothèse qu'elles commutent doit permettre de montrer, par exemple par récurrence sur la taille des matrices, qu'elles sont trigonalisables dans la même base.
Le calcul des déterminants sous forme trigonalisée ne pose alors plus aucun problème.
Merci beaucoup pour votre aide. Effectivement, pour K=R ou K=C, si deux matrices A et B dans Mn(K) commutent et sont trigonalisables, alors elles sont cotrigonalisables (j'ai trouvé la démonstration sur internet, elle semble parfaitement correcte). Simplement par curiosité, êtes-vous en prépa ? (vous semblez drôlement calés) Cela dit, je trouve très instructif de pouvoir donner des explications sur des forums (et aussi, bien sûr, d'en recueillir!!)
Je spoil, et déclare que God's Breath est dans une certaine mesure en prépa.
Dans une certaine mesure mouarf mouarf
Aller God's, tu es démasqué
Pour mystic_snake, c'était un jeu d'enfant.Aller God's, tu es démasqué
