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Exo d'oral classique : urgence



  1. #1
    Carlos Hooker

    Exo d'oral classique : urgence


    ------

    Bonsoir messieurs dames,
    je suis nouveau sur ce forum, et espère y trouver des conseils de niveau maths spé
    Pour mon premier message, j'aimerais que quelqu'un me communique la résolution de l'exercice suivant :
    A et B sont deux matrices réelles carrées d'ordre n,
    A et B commutent, A est nilpotente :
    Montrer que det(A+B)=det(B)

    Je passe peut-être les oraux de centrale dans deux semaines, alors j'ai grandement besoin de vos lumières!
    Merci d'avance,
    Carlos Hooker

    -----

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  3. #2
    Carlos Hooker

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Je vous demande pardon, A et B sont des matrices dans Mn(C) (j'avais dit Mn(R)),
    merci de corriger,

  4. #3
    God's Breath

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Citation Envoyé par Carlos Hooker Voir le message
    Je vous demande pardon, A et B sont des matrices dans Mn(C) (j'avais dit Mn(R)),
    merci de corriger,
    Du fait que les matrices commutent, il te faut montrer qu'elles sont trigonalisables dans la même base. Le calcul de déterminant est alors trivial.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #4
    Gwyddon

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Du fait que les matrices commutent, il te faut montrer qu'elles sont trigonalisables dans la même base. Le calcul de déterminant est alors trivial.
    Ce n'est pas un théorème ça d'ailleurs (enfin je veux dire un théorème au programme ) ?

    Dans ce cas effectivement c'est d'une trivialité sans nom
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Ce n'est pas un théorème ça d'ailleurs (enfin je veux dire un théorème au programme ) ?
    Dans les compléments de programme obligatores pour futurs normaliens, peut-être, mais ce n'est pas dans le programme officiel du taupin lambda...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #6
    Carlos Hooker

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    pardon, mais A et B sont en fait à coefficients complexes, merci de corriger

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Dans les compléments de programme obligatores pour futurs normaliens, peut-être, mais ce n'est pas dans le programme officiel du taupin lambda...
    Ok je ne le savais pas. Je ne me souviens plus si je l'ai vu en prépa ou après, d'où ma question
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    God's Breath

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Citation Envoyé par Carlos Hooker Voir le message
    pardon, mais A et B sont en fait à coefficients complexes, merci de corriger
    Oui, de ce fait, elles sont trigonalisables.

    L'hypothèse qu'elles commutent doit permettre de montrer, par exemple par récurrence sur la taille des matrices, qu'elles sont trigonalisables dans la même base.
    Le calcul des déterminants sous forme trigonalisée ne pose alors plus aucun problème.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    Carlos Hooker

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Merci beaucoup pour votre aide. Effectivement, pour K=R ou K=C, si deux matrices A et B dans Mn(K) commutent et sont trigonalisables, alors elles sont cotrigonalisables (j'ai trouvé la démonstration sur internet, elle semble parfaitement correcte). Simplement par curiosité, êtes-vous en prépa ? (vous semblez drôlement calés) Cela dit, je trouve très instructif de pouvoir donner des explications sur des forums (et aussi, bien sûr, d'en recueillir!!)

  13. #10
    mystic_snake [Théo]

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Je spoil, et déclare que God's Breath est dans une certaine mesure en prépa.

  14. #11
    Gwyddon

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Citation Envoyé par mystic_snake [Théo] Voir le message
    Je spoil, et déclare que God's Breath est dans une certaine mesure en prépa.
    Dans une certaine mesure mouarf mouarf

    Aller God's, tu es démasqué
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #12
    God's Breath

    Re : Exo d'oral classique : urgence

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Aller God's, tu es démasqué
    Pour mystic_snake, c'était un jeu d'enfant.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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