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Séparation des variables



  1. #1
    Kley

    Séparation des variables


    ------

    Salut,

    Voici l'equation (que je dois résoudre par séparation des variables):




    + = 0...(1)


    0<y<L L:finie

    Je pose C(x,y) = F(x).G(y) Je remplace dans (1)

    J'ai donc :.

    Et je touve par la suite:
    G(y) = A cos( )

    et F(x) = B exp + D exp

    Conditions aux limites:
    1- C(+,y)= 0 => B=0,

    2- => = 0,

    3- C(x,L)=0 =>

    4- C(0,y)=C0 => C0= cos(y) , Ah la je vois pas !!


    En récapitulant pour l’instant j’ai :

    C(x,y)= exp cos(y)

    Avec :

    MAIS il manque la quatriéme condition



    PS:Voici le résultat (corrigé sans démonstration) au quel je dois arriver,



    MAIS pourquoi mon résultat est une somme de solutions
    Et pas une solution de la forme:

    C(x,y)= exp cos(y)

    I- Si je n’avais le résultat final, je n’aurais pas pensé à une somme,

    Dans le cas où je n’avais pas le résultat (corrigé) qu’est-ce qui m’aurait laisser
    envisager que ma solution soit une somme.

    II-La solution est donc de la forme:


    Pourquoi avoir ?

    Et comment arriver au résultat:


    ( A partir de )

    J’attends votre précieuse aide avec impatience

    Ciao

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Séparation des variables

    Bonjour Kley,

    Tu veux résoudre pour et , avec les conditions aux limites :
    1-
    2-
    3-
    4- .
    dont je ne tiens pas compte dans un premier temps.

    Tu cherches donc les solutions de la forme et tu obtiens
    et .

    Mais toutes les solutions ne sont pas de cette forme, et, à moins de le prouver rigoureusement, il n'y a aucune raison qu'une solution pour les conditions aux limites imposées fasse partie de ce lot : et tu le prouves explicitement, puisque tu n'arrives pas à satisfaire toutes les conditions aux limites avec ton .

    Si tu as une suite de solutions de cette forme, tout somme (finie) sera encore solution, sans être de la forme .
    Si la série associée à ces solutions converge, de somme , on a formellement

    à condition de pouvoir dériver la série terme à terme...
    On peut espérer obtenir une solution par ce moyen.

    Revenons aux conditions aux limites.

    Je commence par la troisième :.
    Un solution , obtenue par somme finie ou infinie de solutions peut très bien satisfaire ces conditions, sans qu'aucune des ne la satisfasse : la somme des , tous non nuls, peut s'avérer nulle par compensation entre les termes qui la composent...
    Bien évidemment, si tous les sont nuls, on a immédiatement .
    On va en profiter pour imposer certaines conditions aux limites (les plus faciles) aux , de façon à récupérer la condition sur ; mais on ne pourra pas imposer toutes les conditions aux limites aux .

    D'autre part il faut affiner les notations, nos dépendent de l'indice , et il nous faut absolument les écrire sous la forme :
    .

    On va imposer les conditions les plus faciles à réaliser pour .
    Pas de problème pour :
    – la première qui nous impose ;
    – la seconde qui nous impose .
    On a déjà simplifié notre solution en , en notant simplement ce qui s'appelait jusqu'ici .

    Passons à la troisième condition, , c'est-à-dire .
    Comme on n'a aucun intérêt à avoir un terme nul dans notre somme, on suppose , et la condition se réduit à .
    Mais cette équation n'admet pas la seule solution ; elle admet une infinité de solutions de la forme .
    Là encore, somme il ne sert à rien d'avoir deux solutions proportionnelles parce qu'elles ont la même valeur du paramètre , on choisit des tous distincts et, pour l'instant, mais on pourrait être amené à revoir notre position, on va prendre toutes les valeurs possibles avec
    .

    Avec ces valeurs, on a pour l'instant une fonction (je ne précise pas les limites de la somme sur parce que je ne sais pas si c'est une somme finie ou une série), qui satisfait les trois premières conditions aux limites, et qui est solution de notre équation en laplacien (sous réserve que l'on puisse dériver terme à terme dans le cas d'une série).

    Il est temps de nous occuper de notre quatrième condition aux limites, , c'est-à-dire pour et avec .
    Ta question sur une cette série de cette forme et de somme te force à choisir une série et non une somme finie de , et t'impose le choix de .

    Bilan : la fonction satisfait les conditions initiales, est un bon candidat pour être solution de l'équation à résoudre, il suffit de montrer (ou évntuellement d'admettre) que l'on peut dériver la série terme à terme.

    Il se pourrait qu'il existe d'autres solutions pour les mêmes conditions aux limites...
    Dernière modification par God's Breath ; 03/06/2008 à 22h16.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    Kley

    Re : Séparation des variables

    Salut , God's Breath
    Merci pour cet apport détaillé le latex décourage parfois,

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    tu n'arrives pas à satisfaire toutes les conditions aux limites avec ton .

    Si tu as une suite de solutions de cette forme, tout somme (finie) sera encore solution, sans être de la forme .
    De manière général : dés que je vois que mon hypothèse de solution de la forme : ne satisfait pas les conditions, je pars sur une "suite" de solution ? ,


    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Un solution , obtenue par somme finie ou infinie de solutions peut très bien satisfaire ces conditions, sans qu'aucune des ne la satisfasse
    Pourquoi parler de suite de solution si des termes (quelconque) peuvent satisfaire ou non les conditions ?

    (Dans mon cas je n’ai bien aucun terme de cette suite qui satisfait les conditions)

    A ce moment la je pars sur la somme de termes (c’est ça le cheminement ?),



    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    :On va en profiter pour imposer certaines conditions aux limites (les plus faciles) aux , de façon à récupérer la condition sur ; mais on ne pourra pas imposer toutes les conditions aux limites aux .
    Je vois, je tente toujours d’appliquer mais conditions sur les (plus facile) et je récupère obligatoirement se qui satisfait, dans ma somme,

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Ta question sur une cette série de cette forme et de somme te force à choisir une série et non une somme finie de , et t'impose le choix de .
    Oui,
    Mais q’entend tu par "non une somme finie de "

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    il suffit de montrer (ou évntuellement d'admettre) que l'on peut dériver la série terme à terme.
    La comme je travail sur un phénomène physique, il me suffit de l’admettre, mais sinon comment le montrer,

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il se pourrait qu'il existe d'autres solutions pour les mêmes conditions aux limites...
    A bon, j’avais perçu le recours à une somme comme notre dernière chance de satisfaire nos conditions ?

    A+

  5. #4
    ericcc

    Re : Séparation des variables

    Il est possible qu'il y ait des solutions à variables non séparables.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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