Séparation des variables : loi de Fick.

**Kley** · 15/05/2008, 22h53

Salut,
Je dois résoudre cette équa diff à variable séparé.
$\text{[math]}$
Pour info, elle représente la diffusion bidimensionnelle d’un soluté,(Premiere loi de Fick),

La méthode de résolution de cette equa diff m’a était imposée, c’est la méthode des variables séparées.

Voici mes conditions aux limites :
A y=L $\text{[math]}$
A x=0 $\text{[math]}$

Donnez moi un coup de main, merci d’avance.

**Rincevent** · 15/05/2008, 23h08

salut,

Envoyé par Kley

$\text{[math]}$

ça veut dire $\text{[math]}$ et ce sont des constantes ces gens-là ?

**Kley** · 15/05/2008, 23h21

Envoyé par Rincevent

$\text{[math]}$ et ce sont des constantes ces gens-là ?

Oui, c'est exactement cela.
D : coefficient de diffusion (constant),
$\text{[math]}$ : vitesse (constante).

**Rincevent** · 15/05/2008, 23h32

dans ce cas tu introduis des fonctions A et B telles que c(x,y)=A(x)B(y) et tu écris ton équation sous la forme f(A,A',A'',x)=g(B,B',y)=K où les ' désignent des dérivées par rapport à la seule variable dont dépend la fonction et où K sera une "vraie constante".

cf l'exemple II de la partie PDE du wiki anglophone

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Kley** · 16/05/2008, 14h00

oula ça me parait pas évident,faut dire que je n'ai jamais manipuler cette méthode de séparation des variables; en plus ds l’exemple il traite une equa du type:
$\text{[math]}$ et non pas :
$\text{[math]}$

Bon j’espère que les forumeurs me viendront en aide par de plus amples détails.

Ciao.

**deep_turtle** · 16/05/2008, 14h03

Bonjour,

j’espère que les forumeurs me viendront en aide par de plus amples détails.

C'est-à-dire ? Je vois pas en quoi c'est compliqué : tu cherches une fonction de la forme f(x)g(y), tu reportes cette forme dans l'équation de départ et tu t'aperçois que tu peux mettre tous les termes dépendant de x à gauche et ceux dépendant de y à droite. À quelle étape bloques-tu ?

**Kley** · 16/05/2008, 14h48

Envoyé par deep_turtle

Bonjour,
C'est-à-dire ? Je vois pas en quoi c'est compliqué : tu cherches une fonction de la forme f(x)g(y), tu reportes cette forme dans l'équation de départ et tu t'aperçois que tu peux mettre tous les termes dépendant de x à gauche et ceux dépendant de y à droite. À quelle étape bloques-tu ?

Salut,
Je bloque à plusieurs reprises, mais très bien on va procéder par étape :
Je pose $\text{[math]}$ =X(x) Y(y) ,on remplace dans l’équation principal et on abouti à:

$\text{[math]}$

Pourquoi c’est =- $\text{[math]}$ je suis d’accord pour dire que ça doit être une constante mais pour quel raison négative et elevée au carré ?

**deep_turtle** · 16/05/2008, 15h13

La constante peut être a priori positive ou négative. Essaie avec une constante positive, et tu verras que la solution en X part aux fraises... (essaie, vraiment !).

Une fois convaincu que la constante doit être négative, ben tu l'écris comme l'opposé d'un carré, qui lui est nécessairement positif. Il se trouve que tu auras besoin un peu plus tard de la racine carrée de l'opposé de cette constante négative, alors autant prendre les devants et la noter -lambda^2. Mais rien ne t'empêche de la noter autrement, aucun problème !

**Kley** · 16/05/2008, 16h58

Envoyé par deep_turtle

La constante peut être a priori positive ou négative. Essaie avec une constante positive, et tu verras que la solution en X part aux fraises... (essaie, vraiment !).

Re
Si je prend ma constante = + $\text{[math]}$
J’aurais X’’- $\text{[math]}$ X= 0 E.D.L homogène du second ordre.
J’aurais donc une solution:
X(x)=Aexp- $\text{[math]}$ + Bexp+ $\text{[math]}$ .
Par contre si je la pose= - $\text{[math]}$ j’aurais :
X(x)=(A cos $\text{[math]}$ x + B sin $\text{[math]}$ x)
Désolé mais je ne me rends pas compte de la difficulté lié au choix de la constante

?
Bref de l’autre coté je trouve
Y=C exp( + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ t).

voila, comment je poursuis...
Ps:merci pour l'aide.

**deep_turtle** · 16/05/2008, 17h03

C'est quoi physiquement X et Y dans ton problème ? Si tu implémentes les conditions aux limites, la solution exponentielle tend vers l'infini quand X tend vers l'infini. Est-ce acceptable ? (peut-être que oui après tout, ça dépend de ton problème !)

Bref de l’autre coté je trouve

Heu... non, c'est pas ça la solution de ton équation en Y ! Il faut d'ailleurs te poser les mêmes questions sur l'influence du signe de la constante sur la solution en Y, c'est peut-être là que ça va coincer !

**Kley** · 16/05/2008, 17h09

Envoyé par deep_turtle

C'est quoi physiquement X et Y dans ton problème ? Si tu implémentes les conditions aux limites, la solution exponentielle tend vers l'infini quand X tend vers l'infini. Est-ce acceptable ? (peut-être que oui après tout, ça dépend de ton problème !)

Heu... non, c'est pas ça la solution de ton équation en Y ! Il faut d'ailleurs te poser les mêmes questions sur l'influence du signe de la constante sur la solution en Y, c'est peut-être là que ça va coincer !

tu parle de x,y non pas de Y,X?

x,y sont mes coordonnées cartesiennes.

**deep_turtle** · 16/05/2008, 17h19

tu parle de x,y non pas de Y,X?

x,y sont mes coordonnées cartesiennes.

Je parle de tes coordonnées, oui (tu les as notées X et Y dans la première équation). Si ce sont des coordonnées cartésiennes représentant la position dans un plan, je repose ma question :

Si tu implémentes les conditions aux limites, la solution exponentielle tend vers l'infini quand X tend vers l'infini. Est-ce acceptable ?

**Kley** · 16/05/2008, 17h19

ce n'est pas un t mais un y
Y=C exp( + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ y)
Voici mes conditions aux limites:
A y=L $\text{[math]}$ =0
A x=0 $\text{[math]}$ !!!

**deep_turtle** · 16/05/2008, 17h22

Bin non, mets cette forme de Y dans l'équation (celle aux variables séparées), tu verras que ça marche pas... D'ailleurs, tu as défini Y comme ne dépendant que de y, tu ne peux pas avoir du x dedans !

**Kley** · 16/05/2008, 17h40

tu veux dire celle la:
$\text{[math]}$

c'est pas plutot un probleme avec ma fonctionX(x)!!?

**deep_turtle** · 16/05/2008, 17h45

Non !

Tu mélanges x et X depuis le début, c'est peut-être dès là que ça dérape. L'équation de diffusion fait intervenir les variables que tu as appelées x et y. La méthode de séparation des variables consiste à chercher la solution CA sous la forme CA=f(x)*g(y). Tu as choisi d'introduire la notation CA = X(x)*Y(y), c'est ton droit, mais tiens-toi y !

Ensuite, dans le message #7 tu as bien séparé les variables et tu obtiens deux équations, une sur X(x) et une autre sur Y(y). La fonction Y que tu écris depuis deux messages n'est pas la bonne solution.

**Kley** · 16/05/2008, 17h53

Envoyé par deep_turtle

Non !

Tu mélanges x et X depuis le début, c'est peut-être dès là que ça dérape. L'équation de diffusion fait intervenir les variables que tu as appelées x et y. La méthode de séparation des variables consiste à chercher la solution CA sous la forme CA=f(x)*g(y). Tu as choisi d'introduire la notation CA = X(x)*Y(y), c'est ton droit, mais tiens-toi y !

Ensuite, dans le message #7 tu as bien séparé les variables et tu obtiens deux équations, une sur X(x) et une autre sur Y(y). La fonction Y que tu écris depuis deux messages n'est pas la bonne solution.

ok,
donc celle la - $\text{[math]}$ Y'+ $\text{[math]}$ Y=0 (Dans le cas ou je prend ma constant=- $\text{[math]}$ )

ça marche ou bien je suis vraiment K.O

**deep_turtle** · 16/05/2008, 17h56

Oui c'est ça, il te reste maintenant à la résoudre ! (ce qui se fait très bien, mieux que l'autre même !)

**Kley** · 16/05/2008, 18h02

la resolution donne bien ceci Y=C exp( + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ y)

??

**deep_turtle** · 16/05/2008, 18h51

Arghh oui tu as absolument raison... je me suis embrouillé dans les notations... En fait j'ai toujours pas vraiment compris pourquoi c'était la loi de Fick. L'équation de diffusion est habituellement introduite avec une dérivée première par rapport au temps et une dérivée seconde par rapport aux coordonnées d'espace.

Tu es bien sûr que y représente une coordonnée cartésienne et pas le temps ? Et c'est quoi VZ ???

(quelque chose me dit que le signe de la constante va changer...

)

**Kley** · 16/05/2008, 19h15

Envoyé par deep_turtle

Arghh oui tu as absolument raison... je me suis embrouillé dans les notations... En fait j'ai toujours pas vraiment compris pourquoi c'était la loi de Fick.L'équation de diffusion est habituellement introduite avec une dérivée première par rapport au temps et une dérivée seconde par rapport aux coordonnées d'espace.

Ok,Non celle la c’est la deuxième loi de Fick (considérant le régime transitoire).
Mais la je suis dans le cas de la première loi de Fick sauf que j’étudie la diffusion bidimensionnel (d’habitude c’est dans une direction).

Envoyé par deep_turtle

Et c'est quoi VZ ???

C’est $\text{[math]}$ désole (je suis désole pour les notations) c’est la vitesse du soluté selon y elle est constante.

Envoyé par deep_turtle

(quelque chose me dit que le signe de la constante va changer... )

lol,
Du moment que j’assimile et comprenne la façon de résoudre c’est pas un problème

**deep_turtle** · 16/05/2008, 20h46

Mais la je suis dans le cas de la première loi de Fick sauf que j’étudie la diffusion bidimensionnel (d’habitude c’est dans une direction).

Alors dans ce cas il te manque un terme de dérivée seconde en y !

L'équation de diffusion avec un terme de convection à vitesse constante dans la direction y s'écrit
$\text{[math]}$
et dans le laplacien [tex\Delta[/tex] il y a deux dérivées secondes, une par rapport à x et une par rapport à y :
$\text{[math]}$
Nan, j'ai loupé un truc ?

**Kley** · 16/05/2008, 21h24

Envoyé par deep_turtle

Alors dans ce cas il te manque un terme de dérivée seconde en y !

L'équation de diffusion avec un terme de convection à vitesse constante dans la direction y s'écrit
$\text{[math]}$
et dans le laplacien [tex\Delta[/tex] il y a deux dérivées secondes, une par rapport à x et une par rapport à y :
$\text{[math]}$
Nan, j'ai loupé un truc ?

Non tu n’as rien loupé, c’est moi qui n’ai pas tout explicité, car je vois ça indépendamment de la résolution math qui est le centre de mon problème.
Voici l’équation générale de la continuité :
- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
Dans notre cas il n’y a pas de création (pas de réaction chimique) t’as donc le terme $\text{[math]}$ qui est nul. Et le régime est supposé stationnaire (pas d’accumulation)donc $\text{[math]}$ .

on a dans ce cas : - $\text{[math]}$ =0

Remarque :N est le flux de transfert=à la somme de 2 termes :diffusion+transport
par exemple $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

(*)Je suis dans un cas de transfert bidimensionnel :
Mes condition opératoires sont telle que selon x : le terme transport peut être négligé
Selon x on a donc $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
Et selon y c’est le terme diffusion qui peut être négligé on aura donc!
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .

En faisant divN tu aboutis à la fameuse équation.

Petite exception dans mon cas il y a signe – qui vient s’incruster du aux projections (le repère m’a été imposer)

**Kley** · 16/05/2008, 21h33

J’espère que c’est clair.
Pour moi le plus dur reste à faire c'est-à-dire en découdre avec cette satanée méthode de la séparation des variables lol

**Rincevent** · 16/05/2008, 21h45

si tu fais un changement d'unité pour y, tu aboutis à $\text{[math]}$ ce qui n'est possible que si ces deux bêtes-là sont égales à une constante K.

$\text{[math]}$ te donne $\text{[math]}$ où D est une constante.

le problème, c'est que si j'ai bien compris, ta condition limite s'écrit B(L)=0, ce qui n'est possible que si $\text{[math]}$ ou D=0... dans ce cas B(y)=0 et C=0...

quels sont les sens physiques de tes conditions limites ?

**Kley** · 16/05/2008, 22h36

Envoyé par Rincevent

si tu fais un changement d'unité pour y, tu aboutis à $\text{[math]}$ ce qui n'est possible que si ces deux bêtes-là sont égales à une constante K.

$\text{[math]}$ te donne $\text{[math]}$ où D est une constante.

le problème, c'est que si j'ai bien compris, ta condition limite s'écrit B(L)=0, ce qui n'est possible que si $\text{[math]}$ ou D=0... dans ce cas B(y)=0 et C=0...

quels sont les sens physiques de tes conditions limites ?

Ayayay je crois avoir fait une grosse bourde,
Je me suis rendu compte que je n’ai pas fait les bonnes hypothèses :
Je pense trouvais plutôt ça:
$\text{[math]}$

mes conditions aux limites restes les même(toujours par la methode des variables separé).

Alors,comment resoudre cette équation?

**Kley** · 16/05/2008, 22h49

En considère le transfert de masse bidimensionnel et stationnaire d’un soluté A à travers un solide B de largeur L et de longueur infinie. Le soluté pénètre par la surface de gauche avec une concentration C0.
La surface de base est recouverte d’un film imperméable tandis que sur les surfaces restantes la concentration du soluté est nulle (à y=L C_A=0).
Trouver, en utilisant la méthode de séparation des variables, le profil de concentration $\text{[math]}$ (x,y).

Voici un schéma explicatif:
Nom : Diffusion.PNG
Affichages : 434
Taille : 3,5 Ko

Nom : Diffusion.PNG
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Taille : 3,5 Ko

Je précise donc que pour établir mon équation j'ai négligé la convection (après réflexion) je pense que ça se tient.

Attaquons la resolution

...

Ps:Merci pour l’intérêt accordé.

Ciao.

**deep_turtle** · 17/05/2008, 09h08

Salut,

Fais un peu attention, sérieusement, parce que là au bout de pas mal de messages, on n'en est même pas au stade où la question est posée de manière propre !

Je pense trouver plutôt ça:
$\text{[math]}$

Non, ça doit être un signe + entre les deux. Ce que tu as fait, c'est choisir selon la coordonnée y une variable qui suit la convection et tu te retrouves avec une équation de diffusion usuelle (avec un plus).

Elle se résoud comme on te l'a indiqué plus haut, qu'est-ce qui bloque ? (les conditions aux limites vont être moins problématiques une fois qu'on a la bonne équation...

)

**Kley** · 17/05/2008, 20h03

En négligeant la convection, et considérant ainsi le transfert régis par un phénomène de diffusion on a :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = 0…(1) (Bidimensionnel)

On est d'accord,c’est bien un « + » mais Contrairement à d’habitude la on a! $\text{[math]}$ >0
Car je dois avoir: $\text{[math]}$ < 0 (sens négatif des y)

Ok, J’ai retenu la leçon lol : je pose $\text{[math]}$ .

Je remplace cette dernière dans (1) :
Je trouve $\text{[math]}$ .
Je pose ma constante = - $\text{[math]}$ c’est bien ça ?
J’obtiens deux équations :

$\text{[math]}$ {Ce sont des E.D.L homogène du second ordre}.
$\text{[math]}$
On aboutira aux solutions suivantes de la forme :
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ .

Voila comment poursuivre?

**deep_turtle** · 18/05/2008, 08h44

En négligeant la convection

Pas besoin de la négliger, tu l'as prise en compte dans ton changement de variables précédent... Mais peu importe, poursuivons...

La constante, a priori, peut être positive ou négative, il faut voir si ton problème physique interdit une de ces deux possibilités ou pas.

Pour aller plus loin, il te faut écrire les conditions aux limites, ça va fixer certaines constantes d'intégration en fonction d'autres. Il y a aussi une raison physique pour laquelle D doit être nulle...

Séparation des variables : loi de Fick.

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Re : Separation des variables:Loi de Fick.

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