séries entières rayon de convergence

[invite7b3eba7f]

si la série des an*x^n admet pour rayon de convergence R>o, quel est le rayon de convergence de la série des (an*x^n)/n! ? j'ai envie d'utiliser l'équivalent de stirling, mais je ne sais pas comment je dois utiliser le fait que la série des an*x^n admet pour rayon de convergence R>o.
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[invite57a1e779]

si la série des an*x^n admet pour rayon de convergence R>o, quel est le rayon de convergence de la série des (an*x^n)/n! ? j'ai envie d'utiliser l'équivalent de stirling, mais je ne sais pas comment je dois utiliser le fait que la série des an*x^n admet pour rayon de convergence R>o.

La suite est bornée pour tout tel que .

[invite7b3eba7f]

(an*x^n)/n! est équivalent à an*x^n*(e/n)^n/(sqrt(2*pi*n)).
(e/n)/(sqrt(2*pi*n))^(1/n) est inférieur à 1 et an*x^n est bornée... cela ne me permet pas de dire que le terme en entier est inférieur à 1... Où est ce que je me trompe?

[invite57a1e779]

(an*x^n)/n! est équivalent à an*x^n*(e/n)^n/(sqrt(2*pi*n)).
(e/n)/(sqrt(2*pi*n))^(1/n) est inférieur à 1 et an*x^n est bornée... cela ne me permet pas de dire que le terme en entier est inférieur à 1... Où est ce que je me trompe?

Attention !!! la suite n'est bornée que dans le disque ouvert de rayon .

Comme souvent dans les séries entières, il faut travailler avec deux valeurs de .

On fixe non nul dans le disque ouvert de rayon , la suite est bornée, disons par ; pour tout , on a la majoration qui permet de montrer la convergence absolue de

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7b3eba7f]

Cette majoration ne nous permet de montrer que la série de an*x^n/n! converge uniquement si l'on sait que ((x/r)^n)/n! converge... et comment on le sait?

[invite57a1e779]

Cette majoration ne nous permet de montrer que la série de an*x^n/n! converge uniquement si l'on sait que ((x/r)^n)/n! converge... et comment on le sait?

Une dose de règle de d'Alembert ?

[invite7b3eba7f]

ça roule! merci beaucoup!