equa diff

[cedbont]

Bonjour j'aimerais savoir comment on résout :

y''=a+by^2

a et b sont de réels et y est une fonction.

Pouvez-vous m'indiquer l'ensemble des solutions?
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[cedbont]

Ouh la la non c'est pas ça.

L'équation est :

y'=a+b(y^2)

Désolé.

[invite4910fcda]

Moi j'essairerai par un changement de variable tout bêtement:
Y=y²
D'ou y'=a+bY
Que tu sais résoudre.

[invite88ef51f0]

Saut,

y'=a+bY
Que tu sais résoudre.

Non... Parce qu'il faut aussi changer le y'.. Or Y'=2yy'. Ton équation reste non-linéaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f53d719]

Moi j'essairerai par un changement de variable tout bêtement:
Y=y²
D'ou y'=a+bY
Que tu sais résoudre.

Bah oué mais non, tu sait pas résoudre! C'est comme si tu disais: On a une équation 3x^5-x^2+1=0, tu pose x^5=X, ca fait X-x^2+1= que tu sais résoudre

Si a et b sont quelconques, c'est irrésolvable à mon avis... Si par exemple a=1 et b=1, ca te fait y=arctan(-1)(x+K)

[invitef591ed4b]

Il faut d'abord résoudre l'équation homogène :



et on trouve une solution générale pour y, avec la présence de constantes. Pour déterminer ces constantes, on réinjecte la solution générale d'y dans l'équation de départ, et on résoud.

[invite00411460]

et c'est pas arctg à gauche ?

[invite88ef51f0]

Il faut d'abord résoudre l'équation homogène

Attention ! L'équation n'est pas linéaire, tu ne peux pas dire que la solution générale est la solution de l'équation homogène plus une solution particulière.
La méthode de Olle me paraît être la bonne...

[invite4910fcda]

Pourtant elle devrait marcher ma méthode parce-que je remplace la fonction par son carré.
C'est pas la même chose que dans l'exemple de Eric. Si je résout ça donne Y=e^bx-a/b d'où
y=sqr(e^bx-a/b)
Nan?

[invite88ef51f0]

Ta notation est assez gênante... On a vite fait de se perdre entre les y et les Y ! Je pense que tu confonds y'=a+b*Y et et Y'=a+b*y.
Comment fais-tu pour résoudre une équation de la forme y'=a+b*u ? Ton équation devient peut-être linéaire, mais tu as deux fonction inconnues (reliés par u=y² en fait, mais on ne le sait pas en regardant l'équation).

[invite4910fcda]

C'est pour ça que je l'ai précisé dans le post! Y=y²

[invite8b12b286]

Il faut commencer par trouver une solution particulière (si je me souviens bien).
Si a*b<0, y=sqrt(-a/b) en est une.

Pour la suite, tu devrais regarder dans ton cours... j'ai pas les miens ici et j'ai pas trop le courage de me replonger dans ces trucs là!

En fait je suis même pas sur que ce soit la bonne méthode
J'avais retenu que pour les équa diff tordues, il fallait trouver des solutions particulières... Mais celle-là est peut être trop tordue!

[invite3f53d719]

J'avais retenu que pour les équa diff tordues, il fallait trouver des solutions particulières... Mais celle-là est peut être trop tordue!

Comme l'a dit Coincoin, c'est valable que pour les équation linéaires et celle ci n'en est pas une à cause du carré, donc pas de solutions générale/particulières.

[invite00411460]

bah avec ma méthode on arrive à :

[inviteab2b41c6]

Lorsque a=0 la solution est simple, il s'agit, moyennant un changement de variable de l'équation
u'=u² dont une solution est 1/x

En fait, comme sephi le disait plus tot, lorsque l'on a une solution particuliere, on peut retrouver toutes les solutions.
Il suffit de poser u=y-y1 où y1 est une solution particulière.

[inviteab2b41c6]

Je propose une autre solution:

E: y'=a+by²

Cela revient a chercher y'+a+by (en posant a=-a et b=-b, comme a et b sont quelconques ca ne change rien, et ca évite les erreurs pour la suite)



E: y'+a+by²=0

On va chercher f telle que f soit C1 et aussi
f(x,y)=0, ainsi on aura les solutions y.

f(x,y)=0 , posons p(x,y)=df/dx et q(x,y)=df/dy
On a alors
p(x,y)+q(x,y)y'=0
En identifiant E et cette équation, on obtient:

q(x,y)=1
p(x,y)=a+by²

Le but du jeu, va etre premièrement de déterminer une équation E' dont les solutions seront exactement celles de E, mais dont les solutions seront plus simples à déterminer.

Pour cela, reprenons le meme développement, mais avec
dp/dy=dq/dy
Appelons m(x,y) la fonction telle que d(m(x)p(x,y))/dy=d(m(x)q(x,y))/dx, et m non nulle.

m(x,y)q(x,y)=m(x,y)
m(x,y)p(x,y)=am(x,y)+bm(x,y)y²

On veut n'importe quelle solution non nulle de
dm(x,y)/dx=d[am(x,y)+bm(x,y)y²]/dy
En particulier une solution constante par rapport à x donne
am'(y)+2bym(y)+y²bm'(y)=0
Ce qui donne une équation différentielle linéaire sans second membre, dont m est solution:
m'(y)+2by/(a+by²)m(y)=0

dont les solutions sont
m(y)=k/(a+by²)

on veut uniquement une solution non nulle, on prendra alors k=1 pour plus de commodité.

donc notre équation E' est par exemple

1/(a+by²)(y'+a+by²)=0

On a alors
p(x,y)=(a+by²)/(a+by²)=1
q(x,y)=1/(a+by²)

Ainsi on voit bien que dp/dy=0=dq/dx
Le but du jeu est de reconstituer f maintenant:
f(x,y)=int(p(x,y)dx)+int(q(x,y )dy)+k
c'est à dire
f(x,y)=x+arctan(by/(sqrt(ab)))/(sqrt(ab))+k
mais on a par définition de f que
f(x,y)=0
Dont on peut facilement expliciter les solutions:
f(x,y)=0 ssi:
x+arctan(by/(sqrt(ab)))/(sqrt(ab))+k=0
ssi
arctan(by/(sqrt(ab)))=sqrt(ab)(k-x)
by/sqrt(ab)=tan(sqrt(ab)(k-x))

et donc
y=tan(sqrt(ab)(k-x))sqrt(ab)/b
et finalement:
y=tan(sqrt(ab)(k-x))sqrt(a/b)

CQFD
(sauf erreur)

On remarque après coup certaines contraintes sur b et a, je suppose qu'on pouvait les prévoir (hormis b non nul, sinon ca n'avait deja plus d'interet dès le départ...)

[inviteab2b41c6]

En me relisant je me suis rendu compte que
"Pour cela, reprenons le meme développement, mais avec
dp/dy=dq/dy" est faux,
il faut lire:
dp/dy=dq/dx

[invite00411460]

oui enfin c'est ma solution en bcp plus long par contre j'avais oublié la constante k, il est vrai.

(en fait ptet pas bcp plus long, mais bcp plus compliqué en tout cas )

[inviteab2b41c6]

Je me rend compte que ma solution marche pour ab non nul,
on va regarder ce qui se passe sinon:

b=0 implique que
y'=a
et y=ax+k est solution, quelque soit a.

Si b non nul et a=0, alors
y'=by²

On recommence le meme cheminement:
E:
y'+by²=0 (on fait le changement b=-b)

on a
p(x,y)=by²
q(x,y)=1

On veut que
dq/dx=dp/dy, pour cela, il faut changer E et E' avec
E': m(x,y)(y'+by²)=0
ce qui donne
p(x,y)=m(x,y)by²
q(x,y)=m(x,y)

dp/dy=dq/dx équivaut à
dm(x,y)/dx=2bym(x,y)+y²bdm(x,y)/dy
Comme précédemment, il est plus commode de prendre dm/dx=0 et donc m est fonction de y
ainsi
m(x,y)=m(y) et
2ym(y)+y²m'(y)=0
une solution est y=0, mais elle ne nous interesse pas
les autres solutions sont exactement celles de
m'(y)+2m(y)/y=0
c'est à dire
m(y)=exp(-2ln(y))=ky^(-2)
k=1 convient
et ainsi
E':1/(y²)(y'+by²)=0

p(x,y)=by²/y²=b
q(x,y)=1/y²

ainsi, on a bien dp/dy=dq/x=0
or f(x,y)=int(p(x,y)dx)+int(q(x,y )dy)+k
et donc
f(x,y)=bx-1/y+k
or f(x,y)=0
ainsi
y=1/(bx+k)

On récapitule donc:

L'équation
y'+a+by²=0 (E)
a pour solutions:

- y(x)=ax+k lorsque b est nul, où k est une constante.
- y(x)=1/(bx+k) lorsque a est nul, k est une constante.
- y(x)=tan(sqrt(ab)(k-x))sqrt(a/b) lorsque ab>0 où k est une constante.

Sauf erreur(s)

[inviteab2b41c6]

oui enfin c'est ma solution en bcp plus long par contre j'avais oublié la constante k, il est vrai.

(en fait ptet pas bcp plus long, mais bcp plus compliqué en tout cas )

Je n'avais pas vu ta solution, en fait je plutot, je n'avais pas compris que tg=tangente, mais maintenant que je la compare avec la mienne, je comprend que tg=tangente

[invite4910fcda]

Bon dészolé j'ai testé ma méthode et elle marche pas vous aviez raison.Et voilà je me tape la honte . Heuresement mon prof de maths est pas là.

[cedbont]

Merci beaucoup j'ai encore un tas de chose à apprendre.