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Une intégrale



  1. #1
    Olorin

    Une intégrale


    ------

    Salut a tous !

    J'ai besoin d'un peu d'aide pour resoudre une intégrale :

    Int( 0 --> + infini ) (dW* W ^ 2 / ( W ^ 4 + Cste ^ 4 ) )

    Merci , et ça ne devrait pas paraitre compliqué au bon matheux !

    -----

  2. #2
    Quinto

    Re : Une intégrale

    Salut.
    Essaie en posant w²=t, mais ca semble pas trivial (mais c'est faisable)

  3. #3
    Olorin

    Re : Une intégrale

    J' y ai pensé , mais ca complique plus les choses . On pose W^ 2 = t

    On a alors dt=2WdW => dW= dt / 2W = dt / 2* racine (t)
    L ' intégrale se réecrie alors :

    int ( 0 -> + inf ) (dt* t / ( 2 racine ( t )*( t^2 + cste ^4 )

    ça n'a pas l'air plus simple !

  4. #4
    Korgox

    Re : Une intégrale

    voilà la primitive ^^' (fichier attaché)

    bon ça t'aide pas à trouver une méthode pour l'obtenir mais ça donne une idée de l'horreur du truc integrals.wolfram.com

    (mais j'ai pas encore beaucoup de moyens pour trouver les primitives alors peut-être que c'est assez banal, mais ça me paraît violent)

    et si je n'm'abuse l'intégrale donne pi/(2*sqrt(2)*cste)
    Images attachées Images attachées  
    Dernière modification par Korgox ; 12/01/2005 à 17h14.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Olorin

    Re : Une intégrale

    Merci !

    En fait cette intégrale se calcule aisément à l' aide du théoreme des résidus ( Analyse complexe ) . Le problème original était de calculer :

    f(t) = 2*Int ( 0 -> + inf ) (dw*w sin( wt) / w^4 + cste^4 )
    = 2 Im [ Int( 0 -> + inf ) ( dw*w* e^( iwt) / (w^ 4 + cste^ 4 ) )]
    = 2 Im [ Int ( 0 -> + inf ) ( g ( w ) ) ]
    avec g(w) paire .

    Dans un premier temps , on suppose t > 0 ( pour le contour d 'intégration dans le domaine complexe ) et je trouve :

    f ( t ) = (pi/cste^2)*e ^ (-racine(2) *cste * t / 2 ) * sin ( cste * racine(2)*t / 2 )

    En remarquant que f(t) = - f(-t) ( f : t-> f(t) impaire )
    on generalise a tout t réel :

    f(t) = signe( t) * f(t>0)

    Je me proposai en fait de vérifier mon résultat en calculant f ' (t) puis f ' ( 0 ) .
    On a :

    f ' (t) = 2 Int ( 0 -> + inf ) ( d/dt g(t) * dw )

    car g( t ) est continue et que sa derivée par rapport à t existe en tout point de
    [ 0 , + infini ]

    ce qui donne :
    f ' ( t ) = 2 Int ( 0 -> + inf ) ( dw*w^2 * cos ( wt ) / ( w^ 4 + cste^ 4 ) )
    et f ' ( 0 ) = 2 Int ( 0 -> + inf ) ( dw * w^2 / ( w^4 + cste^ 4))

    problème original ici posté ( au facteur 2 prés ! )

    le théoreme des residus me dit :

    f '(t)=pi/cste^2*[cste*racine(2)/2*cos (cste*racine(2)*t/2)*e( cste*racine(2)*t/2) - racine(2) / 2*cste*e (-cste*racine(2)*t/2 )*sin (cste*racine (2) * t / 2 )
    d'où f ' ( 0 ) = pi*racine(2) / 2*cste

    je n'ai plus ton résultat en tete , je poste a nouveau aprés l' avoir confronté au mien

  7. #6
    Olorin

    Re : Une intégrale

    merci infiniment Korgox , ton résultat est bon et compatible avec le mien :

    on multiplie ton résultat par 2 :

    f ' ( 0 ) = pi / ( cste * racine (2) )

    mon résultat :

    f ' (0) = pi * racine ( 2 ) / 2* cste = pi / ( cste * racine 2 )

    c' est du tout bon !!

    par contre retrouver l ' intégrale par une méthode d'analyse réelle de la forme de celle que tu as utilisée me semble comme qui dirait , tendu du " string " ( je ne veux surtout pas vexer les amateurs de théories des cordes ! ) .
    Et ce probleme était tombé , parmi d'autres aux partielles de l'année derniere ; durée de l'epreuve 2 heures !!!
    j 'ai du boulot !!!!

  8. #7
    Korgox

    Re : Une intégrale

    Y'a pas d'quoi

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