Une intégrale

[Olorin]

Salut a tous !

J'ai besoin d'un peu d'aide pour resoudre une intégrale :

Int( 0 --> + infini ) (dW* W ^ 2 / ( W ^ 4 + Cste ^ 4 ) )

Merci , et ça ne devrait pas paraitre compliqué au bon matheux !
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[inviteab2b41c6]

Salut.
Essaie en posant w²=t, mais ca semble pas trivial (mais c'est faisable)

[Olorin]

J' y ai pensé , mais ca complique plus les choses . On pose W^ 2 = t

On a alors dt=2WdW => dW= dt / 2W = dt / 2* racine (t)
L ' intégrale se réecrie alors :

int ( 0 -> + inf ) (dt* t / ( 2 racine ( t )*( t^2 + cste ^4 )

ça n'a pas l'air plus simple !

[invite14ea0d5b]

voilà la primitive ^^' (fichier attaché)

bon ça t'aide pas à trouver une méthode pour l'obtenir mais ça donne une idée de l'horreur du truc integrals.wolfram.com

(mais j'ai pas encore beaucoup de moyens pour trouver les primitives alors peut-être que c'est assez banal, mais ça me paraît violent)

et si je n'm'abuse l'intégrale donne pi/(2*sqrt(2)*cste)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Olorin]

Merci !

En fait cette intégrale se calcule aisément à l' aide du théoreme des résidus ( Analyse complexe ) . Le problème original était de calculer :

f(t) = 2*Int ( 0 -> + inf ) (dw*w sin( wt) / w^4 + cste^4 )
= 2 Im [ Int( 0 -> + inf ) ( dw*w* e^( iwt) / (w^ 4 + cste^ 4 ) )]
= 2 Im [ Int ( 0 -> + inf ) ( g ( w ) ) ]
avec g(w) paire .

Dans un premier temps , on suppose t > 0 ( pour le contour d 'intégration dans le domaine complexe ) et je trouve :

f ( t ) = (pi/cste^2)*e ^ (-racine(2) *cste * t / 2 ) * sin ( cste * racine(2)*t / 2 )

En remarquant que f(t) = - f(-t) ( f : t-> f(t) impaire )
on generalise a tout t réel :

f(t) = signe( t) * f(t>0)

Je me proposai en fait de vérifier mon résultat en calculant f ' (t) puis f ' ( 0 ) .
On a :

f ' (t) = 2 Int ( 0 -> + inf ) ( d/dt g(t) * dw )

car g( t ) est continue et que sa derivée par rapport à t existe en tout point de
[ 0 , + infini ]

ce qui donne :
f ' ( t ) = 2 Int ( 0 -> + inf ) ( dw*w^2 * cos ( wt ) / ( w^ 4 + cste^ 4 ) )
et f ' ( 0 ) = 2 Int ( 0 -> + inf ) ( dw * w^2 / ( w^4 + cste^ 4))

problème original ici posté ( au facteur 2 prés ! )

le théoreme des residus me dit :

f '(t)=pi/cste^2*[cste*racine(2)/2*cos (cste*racine(2)*t/2)*e( cste*racine(2)*t/2) - racine(2) / 2*cste*e (-cste*racine(2)*t/2 )*sin (cste*racine (2) * t / 2 )
d'où f ' ( 0 ) = pi*racine(2) / 2*cste

je n'ai plus ton résultat en tete , je poste a nouveau aprés l' avoir confronté au mien

[Olorin]

merci infiniment Korgox , ton résultat est bon et compatible avec le mien :

on multiplie ton résultat par 2 :

f ' ( 0 ) = pi / ( cste * racine (2) )

mon résultat :

f ' (0) = pi * racine ( 2 ) / 2* cste = pi / ( cste * racine 2 )

c' est du tout bon !!

par contre retrouver l ' intégrale par une méthode d'analyse réelle de la forme de celle que tu as utilisée me semble comme qui dirait , tendu du " string " ( je ne veux surtout pas vexer les amateurs de théories des cordes ! ) .
Et ce probleme était tombé , parmi d'autres aux partielles de l'année derniere ; durée de l'epreuve 2 heures !!!
j 'ai du boulot !!!!

[invite14ea0d5b]

Y'a pas d'quoi