Équation différentielle, en maths et physique
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Équation différentielle, en maths et physique



  1. #1
    invite9b44f920

    Équation différentielle, en maths et physique


    ------

    bonjour, je vous explique mon soucis :

    j'ai une équa diff du second ordre a coeff constants a d²u/dt² + b du/dt + c = 0 d'équation caractéristique ar² + br + c = 0

    delta = b² - 4ac et dans mon cas delta < 0

    on a donc r1 = (-b+i(delta)0.5)/2a et r2 = (-b-i(delta)0.5)/2a

    on notera r1 = x + iy et r2 = x - iy

    solution de l'équation différentielle sans second membre :

    u = Aer1t + B er2t avec A = m + ip et B = m - ip

    u = Ae(x + iy)t + B e(x - iy)t

    u = ex[m(eiy+e-iy) + ip(eiy-e-iy)]

    u = ex(2m.cos y - 2p sin y)


    à partir de la, on parle un peu de physique

    En physique on pose directement u = cos (omega t + phi)

    Ma question est la suivante : comment passer mathématiquement de

    u = ex(2m.cos y - 2p sin y) à u = cos (omega t + phi) ?

    Merci d'avance et jspr que je n'ai pas fait d'erreur dans mes calculs ...

    -----

  2. #2
    pephy

    Re : Équation différentielle, en maths et physique

    Citation Envoyé par benji333 Voir le message
    delta = b² - 4ac et dans mon cas delta < 0

    on a donc r1 = (-b+i(delta)0.5)/2a et r2 = (-b-i(delta)0.5)/2a

    on notera r1 = x + iy et r2 = x - iy

    solution de l'équation différentielle sans second membre :

    u = Aer1t + B er2t avec A = m + ip et B = m - ip

    ..
    bonjour,
    pourquoi prendre A et B complexes? A et B sont 2 constantes , il n'y a que r1 et r2 qui sont complexes

  3. #3
    mamono666

    Re : Équation différentielle, en maths et physique

    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  4. #4
    invite9b44f920

    Re : Équation différentielle, en maths et physique

    Dans le lien que tu me donne il met bien A et B en complexes alors pourquoi on me dit que ce n'en sont pas ?

    par contre je comprend tjs pas comment passer de ma dernière forme à u = cos (omega t + phi)

    dsl je suis un peu exigeant ^^

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite8cc37722

    Re : Équation différentielle, en maths et physique

    Si je ne dis pas de bêtise - je suis allongé comme une loque sur mon canapé -

    Tu peux écrire que :

    A*exp(x+iy)t + B*exp(x-iy)t = exp(xt)*(A*exp(iyt)+B*exp(-iyt))

    De là, tu vois plus ou moins une forme de type cosinus... A la différence près que tu as tes constantes A et B (qu'elles soient réelles ou non).

    Tu peux alors écrire :

    exp(xt)*(A*exp(iyt)+B*exp(-iyt)) = C*exp(xt)*cos(wt+phi)

    C correspond à ton amplitude maximale, exp(xt) est une coefficient d'amortissement, et ensuite ton cosinus tout bêtement. Le phi est juste là pour les conditions initiales.

    J'espère ne pas avoir dis de bêtise.

  7. #6
    mamono666

    Re : Équation différentielle, en maths et physique

    Citation Envoyé par benji333 Voir le message
    Dans le lien que tu me donne il met bien A et B en complexes alors pourquoi on me dit que ce n'en sont pas ?

    par contre je comprend tjs pas comment passer de ma dernière forme à u = cos (omega t + phi)

    dsl je suis un peu exigeant ^^
    c'est dans mon cours de math texto....et cela me semble normale de prendre du complexe. On est dans le cas général.

    pour la suite:



    je renomme les constantes A et B... :



    A c'est une constante réelle.
    B c'est une constante réelle.

    on a:



    donc:




    je peux le poser comme ça:



    Pour retrouver le sinus, je vais appliquer



    et pour simplifier je vais poser:




    finalement, je peux reécrire les choses comme cela:



    et



    donc, j'ai pour y(t):



    d'après la formule trigo cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

    on retrouve:

    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  8. #7
    invite9b44f920

    Re : Équation différentielle, en maths et physique

    super clair ^^ merci bcp !!

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