Équation différentielle, en maths et physique

[invite9b44f920]

bonjour, je vous explique mon soucis :

j'ai une équa diff du second ordre a coeff constants a d²u/dt² + b du/dt + c = 0 d'équation caractéristique ar² + br + c = 0

delta = b² - 4ac et dans mon cas delta < 0

on a donc r₁ = (-b+i(delta)^0.5)/2a et r₂ = (-b-i(delta)^0.5)/2a

on notera r₁ = x + iy et r₂ = x - iy

solution de l'équation différentielle sans second membre :

u = Ae^r1t + B e^r2t avec A = m + ip et B = m - ip

u = Ae^{(x + iy)t} + B e^{(x - iy)t}

u = e^x[m(e^iy+e^-iy) + ip(e^iy-e^-iy)]

u = e^x(2m.cos y - 2p sin y)


à partir de la, on parle un peu de physique

En physique on pose directement u = cos (omega t + phi)

Ma question est la suivante : comment passer mathématiquement de

u = e^x(2m.cos y - 2p sin y) à u = cos (omega t + phi) ?

Merci d'avance et jspr que je n'ai pas fait d'erreur dans mes calculs ...
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[pephy]

delta = b² - 4ac et dans mon cas delta < 0

on a donc r₁ = (-b+i(delta)^0.5)/2a et r₂ = (-b-i(delta)^0.5)/2a

on notera r₁ = x + iy et r₂ = x - iy

solution de l'équation différentielle sans second membre :

u = Ae^r1t + B e^r2t avec A = m + ip et B = m - ip

..

bonjour,
pourquoi prendre A et B complexes? A et B sont 2 constantes , il n'y a que r1 et r2 qui sont complexes

[mamono666]

comme ça normalement.

[invite9b44f920]

Dans le lien que tu me donne il met bien A et B en complexes alors pourquoi on me dit que ce n'en sont pas ?

par contre je comprend tjs pas comment passer de ma dernière forme à u = cos (omega t + phi)

dsl je suis un peu exigeant ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8cc37722]

Si je ne dis pas de bêtise - je suis allongé comme une loque sur mon canapé -

Tu peux écrire que :

A*exp(x+iy)t + B*exp(x-iy)t = exp(xt)*(A*exp(iyt)+B*exp(-iyt))

De là, tu vois plus ou moins une forme de type cosinus... A la différence près que tu as tes constantes A et B (qu'elles soient réelles ou non).

Tu peux alors écrire :

exp(xt)*(A*exp(iyt)+B*exp(-iyt)) = C*exp(xt)*cos(wt+phi)

C correspond à ton amplitude maximale, exp(xt) est une coefficient d'amortissement, et ensuite ton cosinus tout bêtement. Le phi est juste là pour les conditions initiales.

J'espère ne pas avoir dis de bêtise.

[mamono666]

Dans le lien que tu me donne il met bien A et B en complexes alors pourquoi on me dit que ce n'en sont pas ?

par contre je comprend tjs pas comment passer de ma dernière forme à u = cos (omega t + phi)

dsl je suis un peu exigeant ^^

c'est dans mon cours de math texto....et cela me semble normale de prendre du complexe. On est dans le cas général.

pour la suite:



je renomme les constantes A et B... :



A c'est une constante réelle.
B c'est une constante réelle.

on a:



donc:




je peux le poser comme ça:



Pour retrouver le sinus, je vais appliquer



et pour simplifier je vais poser:




finalement, je peux reécrire les choses comme cela:



et



donc, j'ai pour y(t):



d'après la formule trigo cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

on retrouve:

[invite9b44f920]

super clair ^^ merci bcp !!