devoir maths TS équation différentielle

[invite1f8c9660]

bonjour à tous, voilà j'arrive pas à faire mon exercice de maths, alors voilà l'énoncé :

dans tous l'exercie, langda désigne un nombre réel de l'intervalle ]0,1]

1. On se propose détudier les fonctions dérivables sur ]-oo;1/2[ vérifiant l'équation différentielle (Elangda): y'=y²+langday et la condition initiale
y(0)=1 On suppose qu'il existe une solution y de (Elangda) strictementpositive sur ]-oo;1/2[ et on pose z=1/y
Ecrire une équation différentielle simple satisfait par la fonction Z

2. Déterminer la solutin z de l'équation différentielle précédente vérifiant
z(0)=1/y(0)=1
on notera dans la suite cette solution Zo

3. Démontrer qur ln(1 + langda) > langda/Langda +1 (pour cela on pourra étudier sur ]0;1° la fonction f définie par f(x)=ln(x+1)-(x/x+1)

4. En déduire que (1/langda)ln(1+langda) ≥ 1/2

5. En déduire que la fonction Zo ne s'annule pas sur ]-oo;1/2[

6. Démontrer alors que (Elangda) admet une solution strictement positive sur ]-oo;1/2[ que l'on précisera.


voilà l'exercice, je demande quelques aides qui vont me permettre de réussir à faire l'exercice.
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[invite6ed3677d]

Bonjour,

langda désigne un nombre réel de l'intervalle ]0,1]

Je sais que les matheux ont l'esprit mal tordu mais je pense quand même que ca doit etre (lambda) ...

Mais on fait des maths ici, pas du grec ...

Alors, on cherche une équa diff pour z, en partant de celle pour y. Ce qui serait cool, c'est décrire la relation y en fonction de z (en s'assurant qu'elle est bien définie où il faut) et de remplacer les terme en y de Elambda avec cette relation. Ca nous donnerai bien une équa diff pour z ...

Qu'est-ce que ca donne ?

[invite1f8c9660]

alors on sait que z=1/y soit y=1/z

donc (1/z)'=(1/z)²+lambda(1/z)

c'est juste ?

[invite6ed3677d]

alors on sait que z=1/y soit y=1/z

donc (1/z)'=(1/z)²+lambda(1/z)

c'est juste ?

Ok, maintenant exprime (1/z)' en fonction de z et sa dérivée et simplifies pour obtenir une équa diff simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f8c9660]

je n'ai pas trop compris il faut que je remplace dans l'expression par z=1/y c'est ça ?

[invite6ed3677d]

je n'ai pas trop compris il faut que je remplace dans l'expression par z=1/y c'est ça ?

On veut une équation diff pour z donc, en partant de celle de y, on essaye d'en obtenir une nouvelle, en fonction de z et z'.

Le but maintenant, est donc d'avoir des z et z' dans l'équation.

[invite1f8c9660]

je ne vois pas du tout . . .

[invite6ed3677d]

je ne vois pas du tout . . .

On a

y' = y² + lambda y
et y = 1/z

donc
y² = 1/z² et y' = (1/z)' = ?

il faut exprimer y' en fonction de z et z' pour le remplacer dans l'équation.

[invite1f8c9660]

y' = (1/z)'=-z'/z²

je ne sais pas si c'est vraiment ça que vous m'avez dit de faire j'ai vraiment du mal avec cet exercice.

[invite6ed3677d]

y' = (1/z)'=-z'/z²

je ne sais pas si c'est vraiment ça que vous m'avez dit de faire j'ai vraiment du mal avec cet exercice.

Oui, c'est ca. Maintenant tu injectes ca dans l'équation diff et tu simplifies pour avoir une nouvelle équation (sans y) plus simple.

[invite1f8c9660]

on sait que y'=y²+lambday

(-z'/z²)=(1/z)²+lambda(1/Z)
=(1/z)²+lambda/z
-z'=((1/z)²+(1/z))*z²
=(1/z)²*z²+(1/z)*Z²
=1+z

C'est bon ?

[invite6ed3677d]

on sait que y'=y²+lambday

(-z'/z²)=(1/z)²+lambda(1/Z)
=(1/z)²+lambda/z
-z'=((1/z)²+(1/z))*z²
=(1/z)²*z²+(1/z)*Z²
=1+z

C'est bon ?

Oui.
En l'écrivant sous la forme
z' + z = -1
on retrouve bien une équation diff sympa.

[invite1f8c9660]

pour la question 2 il faut résoudre l'équation différentielle z'+z=1 ?
Je ne vois pas trop ce qu'il faut faire !

[invite6ed3677d]

pour la question 2 il faut résoudre l'équation différentielle z'+z=1 ?
Je ne vois pas trop ce qu'il faut faire !

Il faut trouver les fonctions z qui vérifient cette équation.
On commence par resoudre l'équation sans second membre :
z' + z = 0

Les solutions sont du type ... ?

[invite1f8c9660]

z'=-z-1
du type z'=az+b avec a=-1 et b=-1
les solution de l'équation différentille sont les fonctions définies sur R par
f(x)=kexp(ax)-b/a
f(x)=kexp(-x)-1

[invite6ed3677d]

z'=-z-1
du type z'=az+b avec a=-1 et b=-1
les solution de l'équation différentille sont les fonctions définies sur R par
f(x)=kexp(ax)-b/a
f(x)=kexp(-x)-1

Impeccable

On ajoute la condition z(0) = 1

[invite1f8c9660]

pour trouver k on utilise y(0)=1 soit z(0)=1/y(0)=1 mais je bloque

[invite1f8c9660]

je trouve k=1
donc f(x)=exp(-x)-1

[invite6ed3677d]

je trouve k=1
donc f(x)=exp(-x)-1

Ah non ! f(0) = -1 ≠ 1

[invite1f8c9660]

je ne comprend pas

[invite6ed3677d]

je ne comprend pas

Ta condition impose que z(0) soit égal à 1.
La solution que tu as donnée ne répond pas à cette condition (pour faire simple : ton k est faux)

[invite1f8c9660]

j'ai refait mes calculs et je trouve k=2

[invite6ed3677d]

j'ai refait mes calculs et je trouve k=2

C'est mieux !

[invite1f8c9660]

donc f(x)=2exp(-x)-1

et on note cette fonction Zo d'après l'énoncé ?

[invite6ed3677d]

donc f(x)=2exp(-x)-1

et on note cette fonction Zo d'après l'énoncé ?

Exact.
Zo(x)=2exp(-x)-1

[invite1f8c9660]

encore une fois je ne vois pas comment démarré pour la 3ème question

[invite1f8c9660]

on commence par dérivé la fonction

[invite6ed3677d]

encore une fois je ne vois pas comment démarré pour la 3ème question

On veut résoudre
ln(1 + lambda) > lambda/Lambda +1

Pour cela, on va passer par la fonction f qu'on te donne
et donc, on va chercher son signe. Ainsi, sur l'intervalle donné,
quand f(x)=ln(x+1)-(x/x+1) est positive, ln(x+1)>(x/x+1)

Etude de signe de f : on commence par ?

[invite1f8c9660]

on commence par dérivé la fonction

[invite6ed3677d]

on commence par dérivé la fonction

Mouais ... on commence par regarder si elle est dérivable ...

Alors , où est-elle dérivable ? Que vaut sa dérivée ?