devoir maths TS équation différentielle

[invite1f8c9660]

la fonction f est dérivable sur ]0,1] et sa dérivé est f'(x)=x/(x+1)²
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[invite6ed3677d]

la fonction f est dérivable sur ]0,1] et sa dérivé est f'(x)=x/(x+1)²

Oui.
Quelles sont les variations de f ? qu'en déduit-on pour son signe ?

[invite1f8c9660]

f est strictement croissante donc positive

[invite1f8c9660]

ln(x+1)-(x/x+1) >0

donc ln(x+1)> x/x+1

[invite6ed3677d]

f est strictement croissante donc positive

C'est pas parce qu'elle est croissante qu'elle est positive !!!!!
Elle est bien strictement croissante mais il me manque une justification pour en déduire qu'elle est positive.

[invite1f8c9660]

avec les limites de f

[invite6ed3677d]

avec les limites de f

Une seule, en l'occurrence ...

[invite1f8c9660]

je trouve lim de f(x)quans x tend vers 0 = 0 et f(1)=ln2-(1/2) environ = 0,19
donc f est positive

[invite6ed3677d]

je trouve lim de f(x)quans x tend vers 0 = 0 et f(1)=ln2-(1/2) environ = 0,19
donc f est positive

Oui, mais celle en 1, on s'en fout ! on sait que la fonction est strictement croissante, donc, si sa valeur minimale est positive, alors la fonction est positive.


Et comme on l'a étudié sur ]0;1], qu'elle est strictement croissante et que la limite en 0 est 0, on peut dire que la fonction est STRICTEMENT positive sur ]0;1]

[invite1f8c9660]

en déduire que (1/lambda)ln(1+lambda) >ou= 1/2
on utilise donc ln(lambda+1)>lambda/(lambda+1)
mais je ne trouve pas de relation

[invite6ed3677d]

en déduire que (1/lambda)ln(1+lambda) >ou= 1/2
on utilise donc ln(lambda+1)>lambda/(lambda+1)
mais je ne trouve pas de relation

Ecris que 0 < lamdba <= 1
et cherches un encadrement de 1 / (lambda + 1)

[invite1f8c9660]

1> 1/(lambda+1) >= 1/2

[invite6ed3677d]

1> 1/(lambda+1) >= 1/2

Oui, maintenant, il faut trouver une inégalité entre 1/(lambda+1) et ce que tu cherches

[invite1f8c9660]

je cherche mais je ne trouve pas

[invite6ed3677d]

je cherche mais je ne trouve pas

Tu sais que (je note lambda = x parce que ca va plus vite !)

ln(x+1)> x/x+1

et tu cherches une inégalité avec
1/x ln(x+1) ...

Il y a UN truc à faire.

[invite1f8c9660]

dsl mais je ne vois pas

[invite6ed3677d]

dsl mais je ne vois pas

Je pars de
ln(x+1)> x/x+1
je multiplie par 1/x (qui est positif donc pas de changement de sens)
1/x ln(x+1)> 1/x+1

et je cherche un minorant de 1/x+1
0 < x <=1
donc
1/2 <= 1/x+1 <1

d'où
1/x ln(x+1) > 1/2

[invite1f8c9660]

pour la question 5.
Zo=2exp(-x)-1

2exp(-x)-1=0
2exp(-x)=1
exp(-x)=1/2
exp(-x)=exp(ln(1/2))
-x=ln1/2
x=-ln1/2

[invite6ed3677d]

pour la question 5.
Zo=2exp(-x)-1

2exp(-x)-1=0
2exp(-x)=1
exp(-x)=1/2
exp(-x)=exp(ln(1/2))
-x=ln1/2
x=-ln1/2

Deux minutes papillon ... pourquoi il n'y a pas de lambda dans Zo ?
Je crois qu'on s'est planté ...

l'équation diff en z est
z' + lambda z = -1

donc Zo(x) = k exp(-lambda x) -1
et Zo(0) = 1
donc Zo(x) = 2 exp(-lambda x) -1

Je suis vraiment désolé de ne pas l'avoir vu plus tot ...

[invite1f8c9660]

ce n'est pas grave !
donc j'ai fais 2exp(-lambdax)-1=0
x=- ln1/2 / lambda

[invite6ed3677d]

ce n'est pas grave !

Ben si ! tu viens pour que je t'aide et je t'enduis d'erreurs !

Je te propose de montrer que Zo est strictement décroissante et que Zo(1/2) > 0.

Pour ca, on montre que la dérivé de Zo est strictement négative (pas de pb) puis on calcule Zo(1/2) = 2 exp(-lambda / 2) -1
Je veux montrer que ce machin est positif.

Je sais que 1/lambda ln(lambda +1) > 1/2 donc
lambda + 1 < exp(-lambda/2)
(je multiplie par -lambda (négatif) et je prend l'exp (croissante))

Je multiplie tout par 2 et j'enlève 1 de chaque coté :
2lambda + 1 < 2 exp(-lambda/2) -1 = Zo(1/2)

il reste à montrer que 2lambda + 1 est positif, ce qui ne devrait pas poser de pb ...

[invite1f8c9660]

je suis perdue là...

[invite6ed3677d]

je suis perdue là...

tu bloques où ? Dis moi ce que tu as compris, et ce qui te pose pb.

[invite1f8c9660]

je comprends pas 1/lambda*(lnlambda+1)>1/2

[invite6ed3677d]

je comprends pas 1/lambda*(lnlambda+1)>1/2

c'est ce qu'on a démontré à la question 4

[invite1f8c9660]

oui mais je ne comprends pas à quoi ça nous sert ici et puis je ne comprends pas aussi
lambda + 1< exp(-lambda/2)

[invite6ed3677d]

oui mais je ne comprends pas à quoi ça nous sert ici et puis je ne comprends pas aussi
lambda + 1< exp(-lambda/2)

J'ai encore fait une petite erreur

J'ai montré que Zo est décroissante donc pour répondre à la question 5, j'aimerai montrer que son minimum (en x = 1/2) est positif.

Donc, je calcule Zo(1/2). Ce qui vaut 2 exp(-lambda / 2) -1.

Je ne sais pas tout de suite que ce truc est positif donc, je vais partir de la question 4 et la modifier pour essayer d'avoir une inégalité avec 2 exp(-lambda / 2) -1.


J'ai donc
1/lambda ln(lambda +1) > 1/2

Je multiplie par lambda (> 0, pas de changement de sens)
ln(lambda +1) > lambda/2
Je multiplie par -1 (< 0, changement de sens)
-ln(lambda +1) < -lambda/2
Je dis que -ln(x) = ln(1/x) donc
ln( 1/(lambda +1) ) < -lambda/2
Je passe à l'exp (croissante, pas de changement de sens)
1/(lambda +1) < exp(-lambda/2)
Je multiplie par 2, je soustrait 1
2/(lambda +1) -1 < 2exp(-lambda/2) -1
J'ai maintenant Zo(1/2) à droite. Je réduit le terme de gauche au même dénominateur.
(1 - lambda) / (1 + lambda) < Zo(1/2)

Et il ne me reste plus qu'à montrer que le terme de gauche est positif.
0 < lambda <= 1 donc
0 <= (1 - lambda) < 1
et (1 + lambda) > 0
d'où
(1 - lambda) / (1 + lambda) >= 0
donc Zo(1/2) > 0
Zo étant décroissante sur ]-inf ; 1/2], elle ne s'annule pas.
CQFD.

[invite1f8c9660]

pour la q.6 on utilise le théorème des valeurs intermédiaires ?

[invite1f8c9660]

pour la question 6 il faut juste démontrer que 2exp(-lambdax)-1 est strictement positif sur ]-oo;1/2[ ?

[invite6ed3677d]

pour la question 6 il faut juste démontrer que 2exp(-lambdax)-1 est strictement positif sur ]-oo;1/2[ ?

Non, il faut trouver la fonction y correspondante.