Petit problème d'aquariophile, suite algébrique

[inviteb341bbb6]

Bonjour à toutes et à tous.

J'ai un aquarium et pour améliorer la qualité de vie de mes plantes, je souhaite remplacer une partie de mon eau par de l'eau osmosée. Cependant, pour éviter un choc par un changement trop brusque, je dois changer l'eau petit à petit. C'est là que je bûche car c'est plus compliqué qu'il n'y paraît.

Je m'explique.

Je dispose d'un bac de 100 L d'eau normale.

La première semaine, je retire 20 L, et les remplace par 10 L d'eau classique + 10 L d'eau osmosée.

Je dispose donc de 90 L d'eau normale + 10 L d'eau osmosée.

La seconde semaine, je retire à nouveau 20 L du bac (soit 18 L d'eau normale + 2 L d'eau osmosée) et ajoute 10 L d'eau normale + 10 L d'eau osmosée.

Je me retrouve alors avec un bac de 100 litres contenant 82 L d'eau normale + 18 L d'eau osmosée.

Ect ... ect ... j'aurais voulu savoir à partir de quelle semaine j'aurais un bac contenant 50% de chacune des eaux ???

J'ai fait les calculs à la main jusqu'à la semaine 6, mais ça devient de plus en plus compliqué ... serait-il possible de me trouver une formule simple me permettant de connaître le contenu du bac pour une semaine n quelquonque ???

Merci d'avance.

Chryso.
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[Calvert]

Salut!

Au début, tu as une fraction d'eau normale de

A la première itération, tu as:



A la deuxième:



etc...

On trouve ainsi le nième terme de la suite:



La somme est une série géométrique, que l'on peut écrire:



et comme :



Faisons tendre le nombre d'itération vers l'infini. Ainsi:



et



et on trouve:



Il faut donc une infinité d'itération pour arriver à une concentration d'eau "normale" de 50%. Ceci dit, cela se comprend facilement "avec les mains": si tu te contente de rajouter à chaque itération un mélange concentré à 50% d'eau normale, tu comprendras que l'on n'arrivera jamais à un mélange de 50%. Il te faut donc ajouter un mélange contenant moins de 50% d'eau normale pour arriver à 50% dans tout le bassin en un nombre fini d'itération.

[invitebe0cd90e]

Ceci dit, dis toi bien qu'au bout d'un temps fini tu auras deja "quasiment" 50L de chaque ... au bout de 10 semaines, tu n'auras plus que 55L de normale.. et au bout d'un mois 50.06L... ce qui modulo les erreurs de mesure est en gros 50L

[inviteb341bbb6]

Ah ok; je comprends pourquoi je trouvais pas, je me concentrais sur les deux volumes (eau normale et eau osmosée), alors que j'aurais dû n'en prendre qu'une sur les 2 en compte.

Bien évidemment, je ne vais pas faire indéfiniment des transvasements, comme je dis jobhertz, une dizaine de semaines devrait suffire.

Merci beaucoup de votre aide les gens

[A voir en vidéo sur Futura]