Les propriétés de l'équivalence

[invite1ae5c4cb]

Bonjours à tous,
imaginons que l'on a x~y au voisinage de a

que doit-on vérifier pour multiplier pour ln(x) de part et d'autre de l'égalité ou composé par exp ? Dans mon cours, il est dit qu'on ne compose pas les équivalences, mais pourtant dans des exercices on le fait. Quelqu'un peut-il m'expliquer comment marche l' équivalence ( à part lim x/y=1) et quand peut-on composer, sommer, ...


exemple : Trouver la limite de (cos x)^(ln x) pour x au voisinage de 0

On a exp ( ln(x)*ln(cos(x) ) = exp ( ln(x)*ln(1+cos(x)-1 )

or ln(1+u)~u au voisinage de 0 donc: ln(1+cos(x)-1)~-(1-cos(x))=-2sin²(x/2)

or sin (x) ~x d'où ln(1+cos(x)-1)~-x²/2

d'où lim (cos x)^(ln x)= lim exp ( ln(x)*(-x²/2) = 1


Merci pour votre aide
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

On a exp ( ln(x)*ln(cos(x) ) = exp ( ln(x)*ln(1+cos(x)-1 )

or ln(1+u)~u au voisinage de 0 donc: ln(1+cos(x)-1)~-(1-cos(x))=-2sin2(x/2)

or sin (x) ~x d'où ln(1+cos(x)-1)~-x2/2

L'équivalence permet simplement de ramener la limite à calculer à celle d'une fonction plus simple.
Dans ton cas, on peut encore mulitplier les équivalents :
fournit , et la limite en 0 de cette dernière fonction est 0.

Comme l'exponentielle est continue, on en déduit que tend vers en 0.
On utilise la limite d'une fonction composée, pas une composition d'équivalents.

[invite1ae5c4cb]

Mais peut on composer une équivalence ? par la fonction racine carrée par exemple ? Dans un exercice on la fait.

[invite57a1e779]

Mais peut on composer une équivalence ? par la fonction racine carrée par exemple ? Dans un exercice on la fait.

IL faut regarder dans chaque cas particulier.
Dans la pratique, on peut utiliser le fait que, au voisinage de est équivalent à .
Par composition de limite, tu peux en déduire (si les fonctions sont positives...) que , donc que au voisinage de .
Mais, en général, tu ne peux pas en déduire que , ou ; il faut alors revenir au calcul brutal de la limite.

[A voir en vidéo sur Futura]