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Les propriétés de l'équivalence



  1. #1
    necco

    Les propriétés de l'équivalence


    ------

    Bonjours à tous,
    imaginons que l'on a x~y au voisinage de a

    que doit-on vérifier pour multiplier pour ln(x) de part et d'autre de l'égalité ou composé par exp ? Dans mon cours, il est dit qu'on ne compose pas les équivalences, mais pourtant dans des exercices on le fait. Quelqu'un peut-il m'expliquer comment marche l' équivalence ( à part lim x/y=1) et quand peut-on composer, sommer, ...


    exemple : Trouver la limite de (cos x)^(ln x) pour x au voisinage de 0

    On a exp ( ln(x)*ln(cos(x) ) = exp ( ln(x)*ln(1+cos(x)-1 )

    or ln(1+u)~u au voisinage de 0 donc: ln(1+cos(x)-1)~-(1-cos(x))=-2sin²(x/2)

    or sin (x) ~x d'où ln(1+cos(x)-1)~-x²/2

    d'où lim (cos x)^(ln x)= lim exp ( ln(x)*(-x²/2) = 1


    Merci pour votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Les propriétés de l'équivalence

    Bonjour,
    Citation Envoyé par necco Voir le message
    On a exp ( ln(x)*ln(cos(x) ) = exp ( ln(x)*ln(1+cos(x)-1 )

    or ln(1+u)~u au voisinage de 0 donc: ln(1+cos(x)-1)~-(1-cos(x))=-2sin2(x/2)

    or sin (x) ~x d'où ln(1+cos(x)-1)~-x2/2
    L'équivalence permet simplement de ramener la limite à calculer à celle d'une fonction plus simple.
    Dans ton cas, on peut encore mulitplier les équivalents :
    fournit , et la limite en 0 de cette dernière fonction est 0.

    Comme l'exponentielle est continue, on en déduit que tend vers en 0.
    On utilise la limite d'une fonction composée, pas une composition d'équivalents.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    necco

    Re : Les propriétés de l'équivalence

    Mais peut on composer une équivalence ? par la fonction racine carrée par exemple ? Dans un exercice on la fait.

  5. #4
    God's Breath

    Re : Les propriétés de l'équivalence

    Citation Envoyé par necco Voir le message
    Mais peut on composer une équivalence ? par la fonction racine carrée par exemple ? Dans un exercice on la fait.
    IL faut regarder dans chaque cas particulier.
    Dans la pratique, on peut utiliser le fait que, au voisinage de est équivalent à .
    Par composition de limite, tu peux en déduire (si les fonctions sont positives...) que , donc que au voisinage de .
    Mais, en général, tu ne peux pas en déduire que , ou ; il faut alors revenir au calcul brutal de la limite.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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