Racines 2n-emes de -1

[invite42abb461]

Bonjour,

je cherche a trouver les solutions de x^(2n)=-1. Je pense qu'il faut en trouver 2n mais je n'en trouve que n:

de la forme exp(i(2k+1)pi/2n), k variant de 0 a n
J'oublie quoi ?

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

je cherche a trouver les solutions de x^(2n)=-1. Je pense qu'il faut en trouver 2n mais je n'en trouve que n:

de la forme exp(i(2k+1)pi/2n), k variant de 0 a n
J'oublie quoi ?

C'est bien évidemment l'intervalle de variation de qui ne va pas.
Pour retrouver la même racine avec les entiers et , la condition nécessaire et suffisante est est multiple de , soit multiple de .
Tu dois donc te convlure avec valeurs consécutives de , par exemple de à

[invite42abb461]

Salut,

je ne comprends pas tes notations avec k et k'. Si je prends ton intervalle dans mes notations je trouve les memes racines a partir du rang n. Je pensais qu'on devait rester avec des entiers plus petit que 2n au numérateur. Désolé si je m'exprime mal mais ce n'est pas clair dans ma tete

[invite57a1e779]

je ne comprends pas tes notations avec k et k'. Si je prends ton intervalle dans mes notations je trouve les memes racines a partir du rang n. Je pensais qu'on devait rester avec des entiers plus petit que 2n au numérateur. Désolé si je m'exprime mal mais ce n'est pas clair dans ma tete

On détaille : tu cherches tes racines sous la forme et tu trouves que l'argument doit être de la forme (avec entier...).

Lorsque varie de 0 à , tes arguments prennent les valeurs , , ..., : tu n'as donc fait qu'un demi-tour sur le cercle unité : il te manque des racines...
Il faut aller jusqu'à la valeur de qui boucle sur la première valeur après un tour, c'est-à-dire , et tu trouves . Pour avoir toutes les racines, il te faut donc t'arrêter juste avant (pour ne pas compter deux fois la même racine au début et à la fin), donc faire varier de à

[A voir en vidéo sur Futura]