racines 5emes de 1

[invite8cc75be9]

Je dois résoudre dans C l'équation suivante :
(z-2)^5-z^5=0

j'ai trouvé les solutions, mais pas comme il faut, puisqu'il les faut sous forme algébrique simple

J'ai trouvé : z1=2/(1-e^2ipi/5)
z2=2/(1-e^4ipi/5)
z3=2/(1-e^6ipi/5)
z4=2/(1-e^8ipi/5)

Merci pour votre aide
-----

[invite9c9b9968]

Si tu sais mettre sous la forme a+ib, tu as gagné.

[invite8cc75be9]

é bien c a dire que oui mais l'angle pi/5 n'est pas un angle que l'on connait, comme pi/2 pi/3 pi/4 ou pi/6

[invite9c9b9968]

Effectivement...

Peut-être qu'en combinant bien les angles que tu connais et en utilisant la trigo tu peux t'en sortir, mais ça risque d'être long et ton prof ne voulais pas ça je pense.

Là désolé je ne vois pas comment faire autrement.. Attendons quelqu'un d'autre

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Je ne vois pas où est le problème.

C'est génant d'avoir des cos(8pi/5) dans les parties réelles ?

[invite39b6d083]

Je ne vois pas où est le problème.

C'est génant d'avoir des cos(8pi/5) dans les parties réelles ?

En faite, je suis aussi intéressé par cette réponse car je cale sur un même genre d'exercice et j'ai souvent du mal avec les formes algébriques.

Tu ferai comment toi GuYem pour mettre ça sous forme algébrique ?

PS : J'ai essayé de chercher mais vu que j'ai du mal avec ces formes là j'ai rien trouvé

[invite9c9b9968]

En fait GuYem a raison : si le problème dit de mettre sous forme algébrique, on peut laisser les cosinus et les sinus, ça ne pose pas de problème. Mais ici, on demande "simple", donc je présuppose que cela signifie que les cosinus et sinus sont simplifiables

[invite54165721]

J'ai trouvé : [I]z1=2/(1-e^2ipi/5)
z2=2/(1-e^4ipi/5)
z3=2/(1-e^6ipi/5)
z4=2/(1-e^8ipi/5

bonjour,

une racine cinquieme de 1 est un nombre algebrique(elles verifient x^5 - 1 = 0).
Les racines trouvées sont des expressions algebriques (2/(1 - Z) de ces racines.
les expressions trouvées correspondent bien à la demande.
Les parties imaginaires d'un nombre algébrique sont elles toujours algébriques?
si oui on pourrait les utiliser pour d'autres expressions les utilisant mais qui seraient plus compliquées.

[pat7111]

C'est génant d'avoir des cos(8pi/5) dans les parties réelles ?

Je ne pense pas, d'autant que ça se calcule facilement...

Dans l'exo qui fait trouver la construction d'un pentagone régulier, on calcule

Pour mémoire, la méthode est de considérer

On a d'où

En regroupant les exponentielles par paires de complexes conjugués, on obtient

Un p'tit coup de trigo là dedans... et on a

Reste à calculer les deux racines de et choisir la bonne.

Avec ce résultat, on devrait bien pouvoir exprimer toutes les solutions sous forme algébrique

[GuYem]

Je pense, avec tous le respect que je vous dois, que les réponses sont parties en peu en live. Elles doivent certainement amener au résultat, mais tout cela me parait trop compliqué.
Reprenons où en est arrivé l'auteur pour la première racine par exemple :


L'énoncé demande de donner les résultats " sous forme algébrique ", ie sous la forme a+ib, a et b réels. Ce n'est pas le cas ici à cause de la fraction et des i au dénominateur. Voilà ce qu'il faut se rappeler pour s'en débrasser : multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur. Let's go :





Nous voilà sous forme algébrique puisque le dénominateur, comme par magie, est réel. On peut ensuite faire plus ou moins de simplifications sur cette expression, mais je pense qu'elle répond à l'énoncé.

[invite8cc75be9]

pat7111, es-ce que tu peux expliquer commer on peut exprimer ttes les solutions de Zi sous forme algébrique parce que je vois pas du tout !!

merci

[pat7111]

pat7111, es-ce que tu peux expliquer commer on peut exprimer ttes les solutions de Zi sous forme algébrique parce que je vois pas du tout !!

merci

Que ne vois-tu pas ? Comment j'ai calculé ou comment on continue avec cela à travailler l'expression de GuYem ?

[invite8cc75be9]

Ba comment on comment on continue avec cela à travailler l'expression de GuYem

[pat7111]

Baaaaaa... je vois pas bien où est le pb...

GuYem a exprimé Z1 en fonction du sin et cos de 2pi/5

J'ai fait le calcul du cos, on n'est pas loin d'avoir le sin... reste à poser laborieusement le calcul et aller au bout sans craquer.

pour les autres, les sin et cos se trouvent avec des cos(a+b) = ... sin(a+b) = ... etc ... qu'est qui te gêne ?

[invite8cc75be9]

ce qui me gene c'est que je ne vois pas ou dans le poste guyem à écrit ca !

[pat7111]

Là (------)

[invite8cc75be9]

à daccord mais moi je pensais qu'on allait plus avoir de cos ou sin parce que pour la suite de l'exercice ca va peut etre etre compliqué ?? on me demande par la suite de démontrer que les points du plan complexe ayant pour affixe les solutions de l'équation (z-2)^5-z^5=0 sont alignés et ensuite de factoriser P(x)=(x-2)^5-x^5

[invite54165721]

salut,

je me repete mais il faut garder les expressions de ton premier post qui sont une expression algebrique simple!

[invite54165721]

:J'ai trouvé : z1=2/(1-e^2ipi/5)
z2=2/(1-e^4ipi/5)
z3=2/(1-e^6ipi/5)
z4=2/(1-e^8ipi/5)

en posant e^2ipi/5 = a,
on z1 = 2/(1-a)
z2 = 2/(1-a^2)
z3= 2/(1-a^3)
z4 = 2/(1-a^4)
d'où les simplifications possibles dans le reste de l'exo.

[GuYem]

en posant e^2ipi/5 = a,
on z1 = 2/(1-a)
z2 = 2/(1-a^2)
z3= 2/(1-a^3)
z4 = 2/(1-a^4)
d'où les simplifications possibles dans le reste de l'exo.

C'est vrai que ce sont surement les formes les plus maniables.