Fonction propres d'un opérateur integral

[invite412f80f3]

Bonjour,
j'ai une petite question à laquelle je n'ai pas trouvé de réponses. Voila de quoi il s'agit:
on se donne un opérateur intégral de dans lui meme, de noyau qui vérifie (ce qui implique que est auto-adjoint). On suppose que , ce qui implique que est de Hilbert Shmidt et par suite compact. La question est: est ce que l'affirmation suivante est correcte:

est auto-adjoint et compact, , muni de son produit scalaire usuel, est un espace de Hilbert séparable donc il existe une base de formée des fonctions propres de .

Si ce n'est pas correcte est ce possible de me donner un contre exemple et merci bien davantage pour votre aide
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[Sephi]

C'est correct. Tout opérateur autoadjoint compact sur un Hilbert induit une décomposition orthogonale :

où est le sous-espace engendré par les fonctions propres de . De plus, où est le sous-espace engendré par la i-ème fonction propre (car les fonctions propres d'un opérateur symétrique sont orthogonales).

L'opérateur peut donc se décomposer en



où est la i-ème valeur propre et est le projecteur sur .

[invite412f80f3]

Merci bien pour ta réponse Sephi, ma question est: ou est ce que je peux trouver les détailles de la preuve de ce que tu viens de m'affirmer que c'est correcte.
Merci encore une autre fois pour ta réponse

[Sephi]

Merci bien pour ta réponse Sephi, ma question est: ou est ce que je peux trouver les détailles de la preuve de ce que tu viens de m'affirmer que c'est correcte.
Merci encore une autre fois pour ta réponse

Je n'ai pas de bouquin de référence en tête...

En gros, il faut d'abord montrer que les fonctions propres (si elles existent) d'un opérateur symétrique sont orthogonales. Très facile : si et , alors . En supposant , on a , donc et sont orthogonales.

Ensuite, il faut montrer que les fonctions propres d'un opérateur compact forment une base de l'espace entier. Pour ça, il faut utiliser un

Théorème : si est compact autoadjoint, alors son spectre :

1. ne contient, comme éléments non-nuls, que valeurs propres (il est purement ponctuel) et celles-ci sont réelles,
2. est au plus dénombrable
3. contient zéro qui est le seul point d'accumulation possible,
4. contient un élément (éventuellement zéro) tel que .

Ayant ça en tête, soit le sous-espace engendré par les fonctions propres de (qui est compact autoadjoint). On sait déjà que où est le sous-espace engendré par la i-ème fonction propre, puisque que les fonctions propres sont orthogonales.

Ensuite, on a et il faut montrer que . Pour ça, il faut considérer la restriction . C'est à nouveau un opérateur compact autoadjoint, donc son spectre ne contient que zéro et des valeurs propres (par les points 1 et 3 du théorème). Mais il ne peut contenir aucune valeur propre, puisqu'on est sur et non sur ! Par conséquent, son spectre ne contient que zéro. Par le point 4 du théorème, on a que donc et . En choissant une base orthogonale pour , on obtient avec les fonctions propres une base orthogonale de entier.

Et pour terminer, comme tout sous-espace d'un Hilbert correspond (bijectivement) à un projecteur, ce qui précède montre qu'on a la décomposition suivante pour les opérateurs (identité) et :

où est le projecteur sur , celui sur et est la valeur propre associée à . Dans le formalisme de Dirac, si est la fonction propre qui engendre , alors on réécrit l'expression de comme suit :

.

Maintenant, il manque la preuve du théorème ci-dessus, qui est relativement longue, donc je ne vais ptêt pas l'écrire de si tôt, si ce qui précède t'est déjà suffisant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite412f80f3]

merci 1000 fois pour ces eclaircissement. c'est très gentille de ta part Sephi