barycentre

invite769a1844 · 17/06/2008, 12h38

Bonjour,

il y a un point de cet exo où je bloque:

Soit $\text{[math]}$ un triangle non aplati d'un espace affine. On choisit trois points $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Montrer que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont concourantes si et seulement si il existe trois réels $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tels que:

$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$

Pour l'implication directe, on pose:

$\text{[math]}$ , ie il existe $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ , ie il existe $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ , ie il existe $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ le point d'intersection des droites $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Il existe $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,

d'où par associativité du barycentre

$\text{[math]}$ ,

et par unicité des coordonnées barycentriques normalisées on a:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ vérifient bien

$\text{[math]}$

mais je ne vois pas comment montrer que $\text{[math]}$

Merci pour votre aide.

invite57a1e779 · 17/06/2008, 13h53

Bonjour,

Envoyé par rhomuald

mais je ne vois pas comment montrer que $\text{[math]}$

Peut-être que $\text{[math]}$ sont des coordonnées barycentriques (non normalisées) du point $\text{[math]}$ ...

invite769a1844 · 17/06/2008, 14h35

Envoyé par God's Breath

Bonjour,

Peut-être que $\text{[math]}$ sont des coordonnées barycentriques (non normalisées) du point $\text{[math]}$ ...

ah oui effectivement, merci GB.

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