equation différentielle

[invite7c8ba2ff]

Bonjour à vous, alors j'ai un probleme pour résoudre cette équation différentielle =

(1+x²)y' +2xy = 0

Pouriez vous me donner la démarche à suivre svp, j'ai essayer de regarder les cours mais je comprend pas comment résoudre une équadiff, si au passage vous avez un site ou c'est bien expliqué je vous en remercirai.

Merci
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[Bruno]

Salut,

Tu as là un genre trivial d'équation différentielle, càd celle à variables séparées et d'ordre un.

L'idée dans la résolution est de se dire qu'on sait intégrer et pris séparemment et ainsi résoudre en égalant deux intégrales.

Pour cela, on change de notation :

Et on va pouvoir jouer avec les dy et dx en mettant les y et dy dans un membre de l'égalité, et les x et dx dans l'autre membre.

Par exemple :










où C est une constante réelle

[Garf]

Même pas besoin de passer par la séparation des variables.

Cette équation est de la forme y'=f(x).y.

Soit F une primitive de f.

y(x) est de la forme K.exp(F(x)), K réel.

[invite7c8ba2ff]

J'ai trouvé ça moi =


y'/y= 2x/(1+x²)
(dy/dx)/y= 2x/(1+x^2 )
y dy/dx= 2x/(1+x^2 )
y dy= 2x/(1+x^2 ) dx
On fait les primitives
u'/u=ln⁡(u)


y^2/2+ C=ln⁡(1+x^2 )
y^2=2(ln⁡(1+x^2 )-C)
y= √(2 ln⁡(1+x^2 )-2C)


j'ai fais selon la premiere idée, pour la deuxieme faudrai que je cherches dans mon cour lol, merci de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c8ba2ff]

De la forme y'=f(x).y , y(x) est de la forme K.exp(F(x)), K réel

Y(x) = Ke^(x^2 )



Et ça pour la deuxieme façon ? lol je dois faire comment ? merci

[ericcc]

J'ai trouvé ça moi =


y'/y= 2x/(1+x²)
(dy/dx)/y= 2x/(1+x^2 )
y dy/dx= 2x/(1+x^2 )
y dy= 2x/(1+x^2 ) dx
On fait les primitives
u'/u=ln⁡(u)


y^2/2+ C=ln⁡(1+x^2 )
y^2=2(ln⁡(1+x^2 )-C)
y= √(2 ln⁡(1+x^2 )-2C)


j'ai fais selon la premiere idée, pour la deuxieme faudrai que je cherches dans mon cour lol, merci de votre aide

ton calcul est faux : as tu essayé de dériver y pour voir si tu retombais bien sur le résultat ?

Pour Garf : le cas que tu cites est un cas particulier de séparation des variables, et ici on ne gagne aucune étape car il faut simplifier l'exponentielle de toutes façons.

[Garf]

je suis bien d'accord que c'est un cas particulier de séparation des variables... Simplement, même s'il faut simplifier l'exponentielle, je trouve que balancer le résultat presque directement est un tantinet plus rapide (et plus rigoureux).

Et si on veut vraiment faire vite, on peut remarquer que, si on pose f(x)=1+x^2, cette équation s'écrit fy'+f'y=0, soit (fy)'=0, donc y(x)=K/f(x)...

[invite7c8ba2ff]

je suis perdu laa lol j'ai du mal à mettre les y à gauche et les x à droite ...

[ericcc]

je suis bien d'accord que c'est un cas particulier de séparation des variables... Simplement, même s'il faut simplifier l'exponentielle, je trouve que balancer le résultat presque directement est un tantinet plus rapide (et plus rigoureux).

Et si on veut vraiment faire vite, on peut remarquer que, si on pose f(x)=1+x^2, cette équation s'écrit fy'+f'y=0, soit (fy)'=0, donc y(x)=K/f(x)...

Certes, mais je pense qu'on essaie de faire pédagogique pour l'homme-en-huit

[Garf]

Il se trouve que ma première méthode était partie intégrante de mon cours de maths de Sup, alors que je ne peux pas en dire autant de la méthode de séparation des variables (vue sous cette forme en physique/chimie, et traitée plus rigoureusement en Spé, amsi avec des démonstrations forcément plus lourdes). C'est pour ça que je l'ai proposée : on se retrouve dans un cas classique simple ; même si c'est aussi rapide, inutile d'employer des outils plus généraux, mais qui peuvent cadrer moins bien avec le cours.

[ericcc]

Je ne peux pas lutter : encore un normalien...

[Bruno]

Garf, la méthode de séparation de variables est bien la première chose qu'on voit dans la résolution d'équations différentielles d'un cours d'analyse, même si écrire y' = dy/dx et manipuler ce quotient comme tel n'a (à priori) aucun sens mathématique. Viennent ensuite les EDH, etc...

@eightman :

y'/y= 2x/(1+x²) --> tu oublies un "-"
(dy/dx)/y= 2x/(1+x^2 )
y dy/dx= 2x/(1+x^2 ) --> le membre de gauche est faux

PS ericcc : non, un pseudo futur normalien...

[Garf]

Mwaf, la méthode de séparation des variables est très, très utile, après tout dépend l'optique dans laquelle on se place, ou des outils auxquels on a "droit".
Ceci dit, il est vrai qu'il est un peu bête de se battre sur les méthodes, vu qu'elles sont ici sensiblement équivalentes.

eightman :

Première méthode :






(en fait, la constante - ici exp(K) - peut prendre n'importe quel signe)


Deuxième méthode :


a pour primitive, par exemple,


Edit : Bruno : perso, j'ai vu la séparation des variables très tôt en chimie (cinétique), un peu plus tard en physique ; cependant, en maths, je l'ai vu beaucoup plus tard que la méthode "basique". En effet, on peut formaliser la méthode de séparation des variables, mais c'est un peu fastidieux... et la méthode telle qu'on l'emploie en pratique cadre mal avec un cours de maths.
Après, tout dépend du cursus que tu as suivi.

Sinon, que veut dire EDH ?

[invite7c8ba2ff]

sayé !! j'ai compris merci beaucoup

[Bruno]

Sinon, que veut dire EDH ?

Equation différentielle homogène, c'était simplement pour dire que le type d'équation rencontré ici est trivial comparé aux méthodes de résolutions du "reste" (non homogène, d'ordre 1,2,..,n, etc...).

Par contre c'est étrange que tu l'ai vu si tard et d'une telle manière (ça confirme ce que j'en pense de votre système, mais ne polémiquons pas).