Equations différentielle, résolution numérique et erreur

[invitedc2ff5f1]

Bonjour à tous,
J'ai un petit problème concernant la résolution numérique d'équations différentielles. Je suis amené à résoudre de façon numérique un système d'équations différentielles non-linéaires, dont la résolution fait apparaitre des valeurs numériques de l'ordre de 10^10. Or, en déterminant l'erreur qui apparait dans la résolution, il se trouve que celle ci est de l'ordre de 10^2. Mon maître de stage m'a dit que c'était l'erreur relative qui comptait (donc environ 10^-8), mais je n'arrive pas à me convaincre qu'une erreur de 100 (et des fois 1000) sur la résolution numérique d'une équa diff n'ait pas d'importance, bref que ce soit l'erreur relative et non pas l'erreur absolue qu'il faille prendre en compte.

Si quelqu'un pouvit éclairer ma lanterne. Merci
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[invite7458c2b9]

Bonjour,

Ton maitre de stage a raison, c'est tres souvent l'erreure relative qui compte...
Typiquement, c'est comme en te situant a 10 000 km d'un objet, tu pouvais donner sa taille a 10 cm pres (si je me suis pas trompé...). Effectivement c'est pas négligeable, 10cm mais néanmoins vu la distance a laquelle tu te trouve c'est pas mal...

Sinon, numériquement, l'erreur dépend aussi de la méthode que tu utilise (je suppose que c'est RK4)... Si jamais c'est le cas, il faut être prudent car parfois elle est problématique... si tu veux, tu peux me donner ton équation et la méthode que tu utilise, je pourrais peut-être t'en dire un peu plus...

[invitedc2ff5f1]

Voila le système d'équation différentielles que j'ai a résoudre. Les termes "chimiqus" représentent les concentrations des espèces associées, les k et les J sont des constantes de réaction.

La méthode RK4 était beaucoup trop longue, j'ai donc utilisé Rosenbrock. Mais je me suis rendu compte que l'erreur apportée par celle-ci était beaucoup plus grande qu'avec d'autres méthodes comme gear par exemple. D'ou ma question... merci d'avance.

[invite7458c2b9]

Re,

Les paramètres k et J sont des données numériques connues si j'ai bien compris...

Quel est typiquement la durée sur laquelle tu intèger tes équations?
En effet, oncernant les problèmes d'équations différentielles avec conditions initiales, il existe un problème majeur : si tu intègre sur un temps trop long, tôt ou tard les erreurs s'accumulent et finissent par exploser (instabilité numérique)...

Personnelement, j'utilise une variante de RK4 (adaptative stepsize control for runge Kutta) décrite dans le Numerical recipes (http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.php page 714) dans tous les problèmes que j'ai eu a traiter, c'est cette methode qui donne les meilleurs résultats (les erreurs sont moindres et les instabilité numériques adviennent beaucoup plus tard).

Autrement pour acroitre la précision d'une intégration numérique, il est souvent utile de faire un peu de travail analytique sur ton système au préalable (par exemple des transformations d'écehelle, des changements de variable pour absorber des constantes qui peuvent être grandes etc...).
Tu peux en effet te ramener a un système plus simple numériquement qui te donnera moins d'erreur et ensuite refaire les transformations inverses pour te ramener aux vrai quantités.

Je ne te cacherai pas que toutes les astuces que tu peux utiliser sont très dépendantes du problème que tu traite et qu'en général il faut essayer ou alors avoir un peu d'expérience. Peut-être peux tu discuter de ces éventualités avec ton maitres de stage, il saura peut-être ce qu'il faut faire pour simplifer ton système.

Un dernier conseil, pense a regarder l'accumulation de l'erreur en fonction du temps, elle pourra te renseigner sur le moment ou ton intégration devient moins fiable.

Bon courage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedc2ff5f1]

D'accord merci. De toutres façons j'ai plus trop le temps, c'était surtout pour savoir si l'erreur relative primait sur l'erreur absolue (cela me paraissait bizarre dans le cas de résolution numérique d'équa. diff). Mais bon comme je suis pas un pro en maths... merci encore