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Équations différentielles et différentielle



  1. #1
    Babar III

    Équations différentielles et différentielle


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis nouveau ici et j'aurai une petite question à vous poser:

    Quand on résout l'équation (loi exponentielle): dN = k N dt , on trouve:
    <--> dN/N = k dt (1)
    <--> ln N = kt + C (2)
    <--> N = exp (kt) * exp(C) (3)
    <--> N = K exp(kt) (4)

    Or, le passage de l'étape (1) à l'étape (2) m'a interpellée: --> question toute bête: pourquoi trouve-t-on ln N comme primitive de dN/N? Je m'explique, comme N est une fonction, si on dérive ln N, on trouve N'/N, non? et non pas (1/N)dN.. Je ne suis pas complétement à l'aise avec la notion de "différentielle" alors si quelqu'un pouvait m'aider...

    Merci beaucoup d'avance.

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : Équations différentielles et différentielle

    Salut,
    dN/N n'est pas la dérivée de ln(N) mais la différentielle.
    Si tu n'es pas à l'aise, divise des 2 côtés par dt, et intègre ensuite par rapport à t.
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    c'est quoi la différence concrète entre la dérivée et la différentielle s'il-te-plaît?

  4. #4
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    Re-Bonjour

    en effet j'aimerais bien comprendre la différence entre la différentielle et la dérivée..en s'appuyant sur l'exemple que j'ai donné par exemple..
    Alors si quelqu'un pouvait m'aider..

    Merci d'avance.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    pephy

    Re : Équations différentielles et différentielle

    bonjour
    la différentielle d'une fonction f(x) c'est le produit de sa dérivée par un petit accroissement de la variable:

    si f(x)=x on obtient
    d'où finalement df=f'(x).dx

  7. #6
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    merci pephy, j'aimerais maintenant savoir d'après l'exemple (loi exponentielle) que j'ai donné au début, la signification de l'expression "dN" dans l'intégrale de dN/N.. En fait quand j'étais au lycée on m'avait dit que intégrale de dN/N peut s'écrire intégrale de 1/N * dN et qu'il ne fallait pas se soucier du terme dN lors du calcul de l'intégrale. Certes, mais comment alors expliquer que la primitive de lnN soit 1/N en sachant que N est une fonction dans l'exemple que j'ai donné ? J'aimerais bien comprendre pour être enfin à l'aise avec ces calculs.

    Merci beaucoup d'avance.

  8. #7
    pephy

    Re : Équations différentielles et différentielle

    comme déjà dit plus haut dN/N c'est la différentielle de Ln(N)
    donc

  9. #8
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    celà voudrait dire que d(lnN) = (ln N)' * dN donc, non?
    La primitive de d(ln N) vaut ln N alors? C'est celà que je ne comprend pas, comment peut-on dire (quelle propriété ou je ne sais quoi) dit que la primitive de d(ln N) vaut ln N ? (la différentielle a-t-elle des propriétés particulières?)
    Désolé, mais je suis un peu perdu avec cette notion..

  10. #9
    pephy

    Re : Équations différentielles et différentielle

    intégrale et primitive ce n'est pas tout à fait la même chose.
    N'étant pas mathématicien je ne me risquerais pas dans des explications plus approfondies
    mais cela semble bien expliqué là:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_...C3%A9mentaires)

  11. #10
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    merci, mais j'avais déjà regardé et ça ne m'a pas aidé plus que ça.. en fait je cherche une réponse assez précise mais c'est difficile d'expliquer ce que j'ai du mal à saisir. En fait, le problème est que je ne vois pas comment on trouve la primitive d'une différentielle...c'est-à-dire comment on passe de "intégrale de d(Ln N)" = Ln N (soit comment on trouve que "intégrale de dN/N" = Ln N)
    Voilà tout mon problème...

  12. #11
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    je suis assez perdu dans toute cette histoire...
    mais au moment d'intégrer dN/N (soit intégrer 1/N * dN) considère-t-on déjà N comme une fonction? (tjrs d'après l'exemple dN = k N dt:
    <--> dN/N = k dt (1)
    <--> ln N = kt + C (2)
    <--> N = exp (kt) * exp(C) (3)
    <--> N = K exp(kt) (4)

    Merci d'avance

  13. #12
    Duke Alchemist

    Re : Équations différentielles et différentielle

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par Babar III Voir le message
    je suis assez perdu dans toute cette histoire...
    mais au moment d'intégrer dN/N (soit intégrer 1/N * dN) considère-t-on déjà N comme une fonction? (tjrs d'après l'exemple dN = k N dt:
    <--> dN/N = k dt (1)
    <--> ln N = kt + C (2)
    <--> N = exp (kt) * exp(C) (3)
    <--> N = K exp(kt) (4)

    Merci d'avance
    Tu peux toujours l'écrire sous la forme suivante (comme l'avais proposé Coincoin au début du fil) :


    Tu retrouves alors que tu sais intégrer suivant ta variable .

  14. #13
    Gpadide

    Re : Équations différentielles et différentielle

    La notion de differentielle est en fait une notion plus générale, qui intervient qd tu étudies les fonctions de plusieurs variables. Mais on conserve cette notation dans le cas d'une seule variable car c'est pratique : par exemple, qd tes profs t'ont dit d'ignorer le dt sous l'integrale, c'est une faute pedagogique. Ils auraient mieux fait de t'expliquer que faire une intégrale revient a sommer des rectangles de longueur f(x) et de largeur infiniment petite : dx. D'ou une aire f(x)*dx. Ensuite, si tu veux ne pas etre trop perdu avec les differentielles (puisque pour l'instant tu n'a pas vu encore les formes differentielles en maths) tu peux considérer, comme il t'a été suggéré plus haut, que c'est une dérivée "multiplié par dt". Ca se calcule comme une dérivée mais tu "rajoute un *dt". Ainsi tu as un "mini rectangle" (un élément différentiel) qui, en sommant une infinité de fois, te donne bien l'intégrale de ta fonction : dans ton exemple, dN/N =1/N*dN donne bien,en sommant, l'intégrale de 1/N qui est ln(N)

    Voila, en esperant que mes explications, pas tres rigoureuses, aient pu t'eclairer ((=

    P.S.: Le signe intégrale signifie "somme", ce qui est bien en accord avec ma "théorie"

  15. #14
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    merci à toi, finalement j'ai vu sur quoi je bloquais..

    merci encore

  16. #15
    Babar III

    Re : Équations différentielles et différentielle

    P.S.: merci à Duke Alchemist également..et aux autres..

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