Fonctions lipschitziennes
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Fonctions lipschitziennes



  1. #1
    Gpadide

    Fonctions lipschitziennes


    ------

    Bonjour, une fonction f, définie sur R, verifiant :
    |f(x)|<M, ou M est un réel positif, est elle toujours lipschitzienne ? Si oui comment le montre t on ?
    Merci

    -----

  2. #2
    erik

    Re : Fonctions lipschitziennes

    Salut,

    |f(x)|<M n'implique pas que f soit lipschitzienne. (par exemple la fonction f(x)=racine(x) définie sur [0,1] est majorée mais n'est pas lipschitzienne )

    Par contre si |f'(x)|<M (la dérivée de f) alors f est lipschitzienne, c'est immédiat en utilisant le théorème des accroissements finis

  3. #3
    Gpadide

    Re : Fonctions lipschitziennes

    Et si il existe M tel que pour tout x :
    ||f(x)||<M||x|| ?
    J'essaie de montrer que f est lispchitzienne a l'aide des inégalités triangulaire mais je n'aboutis pas...

  4. #4
    GuYem

    Re : Fonctions lipschitziennes

    Je ne crois pas que ça suffise pour que la fonction soit lipshitzienne, sauf dans le cas ou elle est linéaire ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite554bd987

    Re : Fonctions lipschitziennes

    pense plutot a utiliser le theoreme des accroissements finis

  7. #6
    Gpadide

    Re : Fonctions lipschitziennes

    Citation Envoyé par EEW Voir le message
    pense plutot a utiliser le theoreme des accroissements finis
    On ne sait rien sur la dérivée ici.

  8. #7
    Gpadide

    Re : Fonctions lipschitziennes

    J'ai continué a chercher, l'implication me semble evidente pour les applications linéaires, mais est elle toujours vraie dans le cas général ? Je rappelle ma question :
    ||f(x)||<M||x|| implique -t-il que f est lipschitzienne ?

  9. #8
    GuYem

    Re : Fonctions lipschitziennes

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Je ne crois pas que ça suffise pour que la fonction soit lipshitzienne, sauf dans le cas ou elle est linéaire ...

    Comme déjà dit, je ne crois pas que cela suffise.

    Tu peux trés bien imaginer une fonction sous-linéaire (ie qui vérifie ton inégalité) et qui présente, après 0, une non dérivabilité du type racine(x), du coup elle sera non lipschitzienne.

    Plus visuellement, mets ton crayon à l'origine, pars avec une pente nulle, monte un peu, descend brutalement de manière à voir un rebroussement vertical non dérivable, puis repart doucement et tu as un contre exemple.

    Pas facile à décrire ... et en espérant ne pas dire de bitises ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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