Fonctions lipschitziennes

[invite42abb461]

Bonjour, une fonction f, définie sur R, verifiant :
|f(x)|<M, ou M est un réel positif, est elle toujours lipschitzienne ? Si oui comment le montre t on ?
Merci
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[erik]

Salut,

|f(x)|<M n'implique pas que f soit lipschitzienne. (par exemple la fonction f(x)=racine(x) définie sur [0,1] est majorée mais n'est pas lipschitzienne )

Par contre si |f'(x)|<M (la dérivée de f) alors f est lipschitzienne, c'est immédiat en utilisant le théorème des accroissements finis

[invite42abb461]

Et si il existe M tel que pour tout x :
||f(x)||<M||x|| ?
J'essaie de montrer que f est lispchitzienne a l'aide des inégalités triangulaire mais je n'aboutis pas...

[invitedf667161]

Je ne crois pas que ça suffise pour que la fonction soit lipshitzienne, sauf dans le cas ou elle est linéaire ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite554bd987]

pense plutot a utiliser le theoreme des accroissements finis

[invite42abb461]

pense plutot a utiliser le theoreme des accroissements finis

On ne sait rien sur la dérivée ici.

[invite42abb461]

J'ai continué a chercher, l'implication me semble evidente pour les applications linéaires, mais est elle toujours vraie dans le cas général ? Je rappelle ma question :
||f(x)||<M||x|| implique -t-il que f est lipschitzienne ?

[invitedf667161]

Je ne crois pas que ça suffise pour que la fonction soit lipshitzienne, sauf dans le cas ou elle est linéaire ...

Comme déjà dit, je ne crois pas que cela suffise.

Tu peux trés bien imaginer une fonction sous-linéaire (ie qui vérifie ton inégalité) et qui présente, après 0, une non dérivabilité du type racine(x), du coup elle sera non lipschitzienne.

Plus visuellement, mets ton crayon à l'origine, pars avec une pente nulle, monte un peu, descend brutalement de manière à voir un rebroussement vertical non dérivable, puis repart doucement et tu as un contre exemple.

Pas facile à décrire ... et en espérant ne pas dire de bitises ...