Calcul de variations (équations différentielles)

[invite8e34d339]

Bonjour,
je sollicite votre aide afin de résoudre cet exercice:

Déterminer la courbe extrémale de la fonctionnelle :

J(y(x)) = ( y'²(x) + y²(x) + ay(x) )dx ,avec y(0)=1 et y(1)=2

Etudier les cas a=0 et a=1.

Si je ne me trompe pas, en utilisant l'intégrale première d'Euler-Lagrange, on obtient l'equa diff suivante:

y'²(x) + y²(x) + ay(x) = 2y'²(x) + C (toujours avec 2 cas : a=0 ou a=1)

c'est là que je suis bloqué, notamment, je ne sais pas trop ce que je peux faire avec la constante C

Alors, avez vous des idées pour résoudre cet exercice?

Merci d'avance pour votre aide
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[invite09c180f9]

Bonjour,

je ne me suis pas lancé dans la résolution mais généralement c'est là que tes conditions initiales entrent en jeu...

[invite57a1e779]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas, en utilisant l'intégrale première d'Euler-Lagrange, on obtient l'equa diff suivante:

y'2(x) + y2(x) + ay(x) = 2y'2(x) + C (toujours avec 2 cas : a=0 ou a=1)

Tu ne te trompes pas, c'est bien la solution attendue, équation différentielle non linéaire, du premier ordre, incomplète en la variable (autonome si tu préfères) : .
Pour simplifier, avec , on a , et satisfait .

Si par exemple, les solutions (non constantes pour ce qui nous intéresse) sont de la forme ou , réel quelconque.

Les conditions aux limites conduisent au système qui permet de déterminer et .
Tu utilises la même méthode pour les autres cas.