Ordre lexicographique

invite769a1844 · 06/07/2008, 02h06

Bonsoir,

encore un exo de topo auquel je bloque:

On munit $\mathbb{R}^2$ de l'ordre lexicographique. Montrer que la topologie de l'ordre est la topologie produit de $(\mathbb{R},\textrm{euclidien})\times (\mathbb{R},\textrm{discret})$ .

Déjà pour essayer de montrer que $\mathcal{T}_{prod}\subset \mathcal{T}_{lexi}$ , il suffit de vérifier l'inclusion pour les ouverts élémentaires de $\mathcal{T}_{prod}$ , j'en fixe donc un $U\times D$
et je veux montrer qu'il est voisinage de ces points pour $\mathcal{T}_{lexi}$ .

Soit $x\in U\times D$ .
Là il faut que je trouve un intervalle ouvert $]a,b[\in \mathbb{R}^2$ tel que $x\in ]a,b[ \subset U\times D$ , le problème est que j'ai un peu de mal à caractériser ces intervalles.

Merci pour vos indications.

invite769a1844 · 06/07/2008, 02h42

Bon je crois avoir trouvé un moyen pratique pour caractériser un intervalle ou vert $]a,b[$ de $\mathbb{R}^2$ (avec $a=(a_1,a_2),\ b=(b_1,b_2),\ a \prec b$ ), on a

$]a,b[ = \{ \array{ (]a_1,b_1[\times \mathbb{R}) \cup (\{a_1\}\times ]a_2,+\infty[)\cup (\{b_1\}\times ]-\infty,a_2[) \ \mbox{ si }\ a_1<b_1\\ \{a_1\}\times ]a_2,b_2[ \ \mbox{sinon}}$ .

Donc il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, ce n'est pas ouvert pour $\mathcal{T}_{prod}$ .

Mais il me semble que si on prend plutôt $\mathcal{T}_{prod}$ avec $(\mathbb{R},\textrm{discret}) \times (\mathbb{R},\textrm{euclidien})$ ça marche du coup pour les deux sens assez facilement.

invitecbade190 · 06/07/2008, 04h50

Salut encore une fois :

Tout decoule d'une definition en mathematique :
$\ ( x,y ) \leq (x',y') \quad \Longleftrightarrow \quad x < x' \quad \vee \quad ( \quad x = x' \quad \wedge \quad y \leq y' \quad )$
L'idée vient de l'exemple d'un dictionnaire :
"Abajour" $\ \leq$ "Abelien"
( Algebriquement, ça s'ecrit comme ça :
(A,b,a,j,o,u,r) $\ \leq$ (A,b,e,l,i,e,n)

car : A $\ =$ A $\ \wedge$ b $\ =$ b $\ \wedge$ a $\ \leq$ e .
Par exemple : $\ (1,2) \leq (2,1)$
$\ ](1,2) , (2,1)[ = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad : \quad (1,2) \leq (x,y) \leq (2,1) \}$
Le resultat final après un petit calcul sympas donne : ( on eleminie deux cas et on garde les $\ 2$ restant )
$\ ](1,2) , (2,1)[ = ( \{ 1 \} \times [2 , +\infty[ ) \bigcup ( \{ 2 \} \times ]- \infty , 1] ) = \{ 1 , 2 \} \times (] - \infty , 1 ] \bigcup [2 , +\infty[)$
Cordialement ... !

invite769a1844 · 06/07/2008, 08h58

Envoyé par chentouf

Le resultat final après un petit calcul sympas donne : ( on eleminie deux cas et on garde les $\ 2$ restant )
$\ ](1,2) , (2,1)[ = ( \{ 1 \} \times [2 , +\infty[ ) \bigcup ( \{ 2 \} \times ]- \infty , 1] ) = \{ 1 , 2 \} \times (] - \infty , 1 ] \bigcup [2 , +\infty[)$
Cordialement ... !

Je ne suis pas d'accord, il n'y a pas que ça dans l'intervalle $](1,2) , (2,1)[$ .

Par exemple $(3/2,3/2)\in ](1,2),(2,1)[$ (ça se voit sur la première composante) et pourtant $(3/2,3/2)\notin \{ 1 , 2 \} \times (] - \infty , 1 ] \bigcup [2 , +\infty[)$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 06/07/2008, 17h32

Salut :
j'ai pas respecté l'ordre d'ecriture de ton expression :
C'est : $\ (] - \infty , 1] \bigcup [2, + \infty ( ) \times \{ 1 , 2 \}$ est non pas l'inverse ... ! Ben, c'est evident je pense : $\ (1,2) \leq (x,y) \leq (2,1)$ Mais : $\ 2 \leq \frac{3}{2} \leq 1$ est vrai que si , ou bien : $\ y = 1$ ou bien $\ y = 2$ pour avoir : $\ 2 \leq y \leq 1$ ( avec l'ordre que tu as imposé : lexicographique )
Cordialement ... !

invitecbade190 · 06/07/2008, 17h45

Pour que tu vois comment on fait celà ( Après generalise à tout autre intervalle ) : on developpe : $\ (1,2) \leq (x,y) \leq (2,1) \quad \Longleftrightarrow (1,2) \leq (x,y) \quad \wedge \quad ( x,y ) \leq (2,1)$
i.e :
$\ ( 1 < x \vee \left\{ \begin{array}{ll} 1 = x \\ 2 \leq y \end{array} \right ) \quad \wedge \quad ( x < 2 \vee \left\{ \begin{array}{ll} 2 = x \\ y \leq 1 \end{array} \right )$
$\ \vee$ est distributive par rapport à $\ \vee$ : on obtient $\ 4$ cas : $\ 2 $ cas disparaissent, et on garde les deux cas qui restent ... Et on obtient le resultat ... !
Cordialement ... !

invite769a1844 · 07/07/2008, 13h42

Salut,

ce n'est pas clair ce que tu dis, même en considérant le produit dans l'autre sens,
le contre-exemple tient toujours et l'inégalité $1\leq \frac{3}{2} \leq 2$ est toujours vraie.

invitecbade190 · 07/07/2008, 15h46

Non :
$\ 2 \leq \frac{3}{2} \leq 1$ ( i.e : $\ 2 \leq \frac{3}{2}$ et $\ \frac{3}{2} \leq 1$ )

invite769a1844 · 07/07/2008, 16h14

Envoyé par chentouf

Non :
$\ 2 \leq \frac{3}{2} \leq 1$ ( i.e : $\ 2 \leq \frac{3}{2}$ et $\ \frac{3}{2} \leq 1$ )

tu peux expliciter un peu plus ce que tu désignes par le symbole $\leq$ ici ?

invitecbade190 · 07/07/2008, 21h27

J'ai mal ecrit une chose :

C'est pas :
$\ 2 \leq \frac{3}{2} \leq 1$
mais :
$\ (1,2) \leq ( x = \frac{3}{2}, y = \frac{3}{2}) \leq (2,1) \quad \quad \quad ( 1 )$

D'abord, toi tu affirmes que $\ (1)$ est vrai ( c'est ton exemple )
or, ceçi n'est pas vrai :

Ni : $\ (1,2) \leq ( x = \frac{3}{2}, y = \frac{3}{2})$ est vrai ( contredit la definition )
ni $\ ( x = \frac{3}{2}, y = \frac{3}{2}) \leq (2,1)$ est vrai ( contredit la definition )
revient voir la definition :
Là voiçi :
$\ ( x,y ) \leq (x',y') \quad \Longleftrightarrow \quad x < x' \quad \vee \quad ( \quad x = x' \quad \wedge \quad y \leq y' \quad )$

Alors, Si ce que tu dis est vrai, c'est à dire si : $\ (x = 1, y = 2) \leq ( x' = \frac{3}{2}, y' = \frac{3}{2})$
celà veut dire que : $\ y' \leq y$ ... !
ce qui contredit la definition ! la definition dit que : $\ y \leq y'$ et non pas $\ y' \leq y$

Donc :
$\ (1,2) \leq ( x = \frac{3}{2}, y = \frac{3}{2}) \leq (2,1) \quad \quad \quad ( 1 )$

( error )
Donc : $\ ( x = \frac{3}{2}, y = \frac{3}{2}) \not \in [(1,2),(2,1)]$
C'est pourquoi : $\ ( x = \frac{3}{2}, y = \frac{3}{2})$ ne figure pas dans l'ensemble : $\ (] - \infty , 1] \bigcup [2, + \infty ( ) \times \{ 1 , 2 \}$

invitecbade190 · 07/07/2008, 21h37

Tu as parfaitement raison ... !

mdrrrr
Pas besoin que $\ y \leq y'$ soit vrai si $\ x < x'$ est verifiée ... ce qi est le cas de ton exemple ... !
Ohhhh, c'ke je suis idiot ... !

T'enerve pas

Je vais essayer de repondre à tes interogations ce soir ... !
D'ici là, porte toi bien ... !
Cordialement ... !

invite769a1844 · 07/07/2008, 21h48

On a la même définition de l'ordre du dico mais on la comprend pas pareil apparemment.

dire que $(1,2)\leq (\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ signifie par définition de $\leq$ que

$(1<\frac{3}{2})$ ou $(1=\frac{3}{2}\mbox{ et } 2\leq \frac{3}{2})$ .

comme $(1<\frac{3}{2})$ est vraie,

$(1<\frac{3}{2})$ ou $(1=\frac{3}{2}\mbox{ et } 2\leq \frac{3}{2})$ l'est aussi,

autrement dit $(1,2)\leq (\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ est vraie.

En fait la relation $(x<x') \mbox{ ou } (x=x' \mbox{ et } y\leq y')$ n'entraîne pas forcément la relation $(y\leq y')$ .

invite769a1844 · 07/07/2008, 21h51

autant pour moi, j'avais pas fait d'aperçu (modem 56k en Ardèche, di coup j'écris les messages en étant déconnecté

)

Merci, pour la topo du dico je pense que c'est ok, c'est cet Alexandrov qui me hante

invitecbade190 · 07/07/2008, 22h16

Alors, pour caracteriser un intervalle $\ ] (a,b),(a',b') [$ avec : $\ (a,b) \leq (a',b')$ :
( Ton exemple m'a appris beaucoup de choses ...

)
La definition dit que :
$\ ( x,y ) \leq (x',y') \quad \Longleftrightarrow \quad x < x' \quad \vee \quad ( \quad x = x' \quad \wedge \quad y \leq y' \quad )$
Alors :
$\ (a,b) \leq ( x,y ) \leq (a',b') \quad \Longleftrightarrow (a,b) \leq ( x,y ) \wedge ( x,y ) \leq (a',b') \quad \Longleftrightarrow \quad [ a < x \quad \vee \quad ( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) ] \wedge [ x < a' \quad \vee \quad ( \quad x = a' \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ) ]$
i.e :
$\ (a,b) \leq ( x,y ) \leq (a',b') \quad \Longleftrightarrow \quad [ a < x \quad \wedge \quad x < a' ] \quad \vee \quad [ a < x \quad \wedge \quad ( \quad x = a' \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ) ] \quad \vee \quad [ ( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) \quad \vee \quad x < a' ] \quad \vee \quad [ ( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) \quad \wedge \quad ( \quad x = a' \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ) ] $
.e :
$\ (a,b) \leq ( x,y ) \leq (a',b') \quad \Longleftrightarrow \quad [ a < x \quad \wedge \quad x < a' ] \quad \vee \quad [ a < x \quad \wedge \quad ( \quad x = a' \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ) ] \quad \vee \quad [ ( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) \quad \vee \quad x < a' ] \quad \vee \quad [ ( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) \quad \wedge \quad ( \quad x = a' \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ) ] $
i.e :
$\ [ a < x < a' ] \quad \vee \quad [ a < x \quad \wedge \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ] \quad \vee \quad [ b \leq y \quad \vee \quad x < a' ] \quad \vee \quad [ ( \quad a = x = a' \quad \wedge \quad b \leq y \leq b' \quad ) ]$
Ben, maintenat : remplace : $\ \vee$ par $\ \bigcup$ et $\ \wedge$ par $\ \bigcap$ ... et tu auras ton ensemble ... !

invitecbade190 · 07/07/2008, 22h26

Certains $\ \wedge$ ne sont pas des $\ \bigcap$ mais des $\ \times$ ( produit cartesien ... ) ...

invitecbade190 · 07/07/2008, 22h32

Il y'a une petite erreur dans ce que j'ai ecrit tout à l'heure :
Voiçi, maintenant tout est corrigé ... !
$\ [ a < x < a' \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} ] \quad \vee \quad [ a < x \quad \wedge \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ] \quad \vee \quad [ b \leq y \quad \vee \quad x < a' ] \quad \vee \quad [ ( \quad a = x = a' \quad \wedge \quad b \leq y \leq b' \quad ) ]$
Et pusique : $\ x = a \neq a'$ ( on supprime le dernier $\ [ ... ]$ , ... et on garde le reste comme ça :
$\ [ a < x < a' \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} ] \quad \vee \quad [ a < x \quad \wedge \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ] \quad \vee \quad [ b \leq y \quad \vee \quad x < a' ] $

invitecbade190 · 07/07/2008, 23h58

Envoyé par rhomuald

On a la même définition de l'ordre du dico mais on la comprend pas pareil apparemment.

dire que $(1,2)\leq (\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ signifie par définition de $\leq$ que

$(1<\frac{3}{2})$ ou $(1=\frac{3}{2}\mbox{ et } 2\leq \frac{3}{2})$ .

comme $(1<\frac{3}{2})$ est vraie,

$(1<\frac{3}{2})$ ou $(1=\frac{3}{2}\mbox{ et } 2\leq \frac{3}{2})$ l'est aussi,

autrement dit $(1,2)\leq (\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ est vraie.

En fait la relation $(x<x') \mbox{ ou } (x=x' \mbox{ et } y\leq y')$ n'entraîne pas forcément la relation $(y\leq y')$ .

Oui, c'est vrai, j'ai pas vu ton message ... !

invite57a1e779 · 08/07/2008, 01h32

Bonsoir rhomuald,

Envoyé par rhomuald

Bon je crois avoir trouvé un moyen pratique pour caractériser un intervalle ou vert $]a,b[$ de $\mathbb{R}^2$ (avec $a=(a_1,a_2),\ b=(b_1,b_2),\ a \prec b$ ), on a

$]a,b[ = \{ \array{ (]a_1,b_1[\times \mathbb{R}) \cup (\{a_1\}\times ]a_2,+\infty[)\cup (\{b_1\}\times ]-\infty,a_2[) \ \mbox{ si }\ a_1<b_1\\ \{a_1\}\times ]a_2,b_2[ \ \mbox{sinon}}$ .

Donc il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, ce n'est pas ouvert pour $\mathcal{T}_{prod}$ .

Mais il me semble que si on prend plutôt $\mathcal{T}_{prod}$ avec $(\mathbb{R},\textrm{discret}) \times (\mathbb{R},\textrm{euclidien})$ ça marche du coup pour les deux sens assez facilement.

C'est tout à fait cela ; à moins que l'on ait l'ordre lexicographique inverse :

$(a_1,a_2)\prec(b_1,b_2) \Leftrightarrow \big( a_2<b_2 \vee (b_1=b_2 \wedge a_1<a_2) \big)$

invitecbade190 · 08/07/2008, 11h03

Envoyé par God's Breath

Bonsoir rhomuald,

C'est tout à fait cela ; à moins que l'on ait l'ordre lexicographique inverse :

$(a_1,a_2)\prec(b_1,b_2) \Leftrightarrow \big( a_2<b_2 \vee (b_1=b_2 \wedge a_1<a_2) \big)$

Et la mienne , qu'est ce qui la rend fausse ... !?

invitecbade190 · 09/07/2008, 20h10

Envoyé par God's Breath

Bonsoir rhomuald,

C'est tout à fait cela ; à moins que l'on ait l'ordre lexicographique inverse :

$(a_1,a_2)\prec(b_1,b_2) \Leftrightarrow \big( a_2<b_2 \vee (b_1=b_2 \wedge a_1<a_2) \big)$

"gb" ... ! viens me montrer l'erreur sur la methode que j'ai fait plus haut ... !

invitecbade190 · 09/07/2008, 21h36

La definition dit que :

$\ \hspace{40cm} ( x,y ) \leq (x',y') \quad \Longleftrightarrow \quad ( \quad x < x' \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} \quad ) \quad \vee \quad ( \quad x = x' \quad \wedge \quad y \leq y' \quad )$
Alors :

$\ \quad (a,b) \leq ( x,y ) \leq (a',b') \quad \Longleftrightarrow \quad (a,b) \quad \leq \quad ( x,y ) \quad \wedge \quad ( x,y ) \quad \leq \quad (a',b') \quad$
$\ \hspace{160cm} \quad \Longleftrightarrow \quad [ ( \quad a < x \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} \quad ) \quad \vee \quad ( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) ] \quad \wedge \quad [ ( \quad x < a' \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} \quad ) \quad \vee \quad ( \quad x = a' \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ) ]$
$\ \hspace{160cm} \quad \Longleftrightarrow \quad [ ( \quad a < x \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} \quad ) \quad \wedge \quad ( \quad x < a' \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} \quad ) ] \quad \vee \quad [( \quad a < x \quad \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} \quad ) \quad \wedge \quad ( \quad x = a' \quad \quad \wedge \quad y \leq b' \quad ) ]$
$\ \hspace{520cm} \quad \vee \quad$
$\ \hspace{200cm} [( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) \quad \wedge \quad ( \quad x < a' \quad \wedge \quad y \in \mathbb{R} \quad )] \quad \vee \quad [( \quad a = x \quad \wedge \quad b \leq y \quad ) \quad \wedge \quad ( \quad x = a' \quad \wedge \quad y \leq b' \quad )] $
Tu develloppes maintenant, et tu obtines le resultat ... !
Ta methode est la bonne methode, rapide et sympas ( sans trop de complication ) ... Quoique, si on te demande de convertir ce problème en un programme informatique ... Tu dois certes passer par ces etapes ... !
Cordialement ... !

invitecbade190 · 09/07/2008, 22h03

Voiçi ce que ça m'a donné :
Si : $\ a < a'$
$\ (]a,a'[ \times \mathbb{R}) \bigcup (] - \infty , a ] \times [b, +\infty [) \bigcup ([a , + \infty [ \times ]- \infty , b' ])$
Si : $\ a = a'$ ( i.e : ( sinon ) et non pas $\ a \geq a'$ )
$\ \{ a \} \times [b,b']$

Mais, ça coincide pas encore avec le resultat que tu as ecrit ... !
Où est l'erreur ... !?

invitecbade190 · 09/07/2008, 22h11

Ta solution est inclse dans la mienne ... !

invite769a1844 · 09/07/2008, 23h54

salut,

dessines ton intervalle pour te faire une idée, et ensuite procèdes par double inclusion (une démarche qui a pas forcément une gueule à passer sous gcc mais plus agréable pour le cerveau

)

invitecbade190 · 10/07/2008, 00h46

Non, le calcul que tu as fait je l'ai compris ... ( c'est direct, et pas besoin de toutes ces conneries que je fait ... ) ...
Voiçi l'erreur ( j'ai confondu $\ \wedge$ avec $\ \vee$ ) :
$\ a < x \quad \wedge \quad x = a'$ donne : $\ x \in \{ a' \} \bigcap ]a,+ \infty [$ ( Moi, j'ai calculé : $\ x \in \{ a' \} \bigcup ]a,+ \infty [$ )
$\ a = x \quad \wedge \quad x < a'$ donne : $\ x \in \{ a \} \bigcap ] - \infty a' [$ ( Moi, j'ai calculé : $\ x \in \{ a \} \bigcap ]- \infty , a [$ )
C'est pourquoi ça n'a pas donné le même resultat que toi ... !
Et $\ ]b,b'[$ aussi au lieu de $\ [b,b']$ ( à cause de la même erreur : $\ \wedge$ et non pas $\ \vee$ ... ! )
Ouf ... !

j'ai trop compliqué les choses pour rien ... !

invitecbade190 · 10/07/2008, 00h51

Bon, on s'en foue du resultat ... ! Mais, c'est le principe qu'il faut comprendre ... !

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