Question de topologie

[erff]

Bonjour, je suis sur un exo, j'ai presque terminé une preuve d'équivalences par démonstration circulaire, il ne me reste que le dernier point pour boucler la boucle et je sèche (il faut dire que je découvre la topologie).

Soit (X,T) un espace topologique

Montrer que :



Merci
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[invite769a1844]

Bonsoir,

si est séparé, on peut alors remarquer que tous ses singletons sont fermés.

En essayant de montrer ta proposition par contraposée, si un des singletons n'est pas fermé alors n'est pas séparé.

Et dire que n'est pas séparé signifie qu'il existe deux points tels que pour tout voisinage de , on ait .

[invite57a1e779]

Bonjour erff,

Soit (X,T) un espace topologique

Montrer que :

Pour montrer que est fermé, il suffit de montrer qu'il est égal à son adhérence. Soit donc , on veut montrer que n'est pas adhérent à , c'est-à-dire qu'il existe un voisinage de qui ...

[erff]

Merci pour ta réponse,

Effectivement, il existe forcément un voisinage de y ne contenant pas x, sinon l'intersection de tous les voisinages de y contiendrait x.

EDIT : @rhomuald
Il n'est fait aucune hypothèse sur l'espace topologique dans l'énoncé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

oui j'ai abusé

Dire que n'est pas séparé ne signifie pas qu'il existe deux points tels que pour tout voisinage de , on ait .