X décimales périodiques

[SPH]

Salut,

J'étudie es paquets de décimales qui reviennent périodiquement. Mais j'ai appercu un phénomène que je ne sais expliquer et que vous connaissez peut etre.

Par exemple, 3/7 = 0,4285714285714285714285714285 7143
On a une période à 6 chiffres : "428571"
Hors, ce 'nombre' 428571 est divisible par 3 (le 3 de 3/7)

Pareil pour d'autres divisions comme 10/21 = 0,4761904761904761904761904761 9048
Période "476190" divisible par 10

Comment cela se fait il ??
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[invite1237a629]

Plop,

Je vais essayer d'expliquer (ça me permettra de comprendre aussi - mais démontrer, faut pas rêver )

En prenant la méthode qu'on apprend en primaire de la division d'un nombre par un autre (la flemme de voir d'où ça vient xD), la division d'un nombre a par un nombre b (avec a<b - càd que si à l'origine, a>b, on prend le reste de la première division) s'écrit :
- on prend la partie entière du quotient a/b
- on prend le reste r1 et on le multiplie par 10
- on prend la partie entière du quotient 10r1/b
- on prend le reste r2 et on le multiplie par 10
- on prend la partie entière du quotient 10r2/b

etc

Donc vient un moment où on retrouvera a, par divisions successives !

Ceci revient à dire qu'il existe n tel que a*10ⁿ a comme reste a dans la division par b. Et on recommence le processus. Donc il y a bien une période.

n correspond à la longueur de la période des décimales.

Donc si on multiplie a/b par 10ⁿ, on aura la période en partie entière (1)
Or, la partie décimale correspond à a/b puisque a*10ⁿ a comme reste dans la division par b, a.

=> a*10ⁿ/b - a/b = un entier, qui correspond à la période des décimales, comme dit en (1).




Et... j'aimerais savoir si je peux continuer dans cette voie, parce que je m'embrouille un peu :'(

[Flyingsquirrel]

Salut

Autre méthode (mais idée similaire) :

Si on admet que l'écriture décimale de 3/7 est périodique et que 3/7=0,428571 428571... en notant a=428571, on peut aussi écrire (le 6 vient du fait que a contient 6 chiffres)
donc (suite géométrique)
ou encore . Comme 7 n'est pas divisible par 3 c'est bien a qui l'est.

Si on avait fait le raisonnement dans le cas général en supposant qu'un rationnel p/q (p et q étant premiers entre eux) possède une écriture décimale périodique de période P, on aurait obtenu où a est le plus petit motif qui se répète dans l'écriture décimale. Et ça permet bien de dire que p divise a car p ne divise pas q.

[invitead61db53]

Bonjour,

J'ai lu que dans le cas de 1/p :
- si la taille de la période est p-1, c'est que p est premier
- si p est premier et 10 générateur de Z/pZ, alors la taille de la période est p-1
... mais je ne trouve pas la démo ?

[A voir en vidéo sur Futura]