fonction de Green d'un cercle

[invitec77afd19]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment detérminer la fonction de Green d'un cercle, connaissant les dimensions de ce cercle.

Si quelqu'un peut me donner un exemple détaillé, il me sauverai d'une galère

Merci pour votre aide
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[invitec77afd19]

Personne pour m'aider ?

[invite4ef352d8]

Salut !

En gros ce qu'il faut c'est résoudre le problème de laplace général dans le Cercle, la méthode la plus élémentaire pour cela ca doit etre de ce placer en coordoné polaire et de déveloper la fonction en série de fourier... essai de le faire, si ca ce trouve c'est pas trop monstrueux.

enfin, pour le détail des calcule je te renvoi plutot à la littérature...
J'ai pas vraiment accès à une bibliothèque pour donner des référence pertinente sur le sujet, mais si mes souvenir sont bon j'avais vu ca dans le livre de Nehari, Conformal mapping. (mais ca devait etre fait de facon moin élémentaire que ce que j'ai dit plus haut ^^)

[invite4ef352d8]

En fait je viens de réfléchir 3 minutes et les calcules sont pas du tous difficile, je vais les rédige ca va me prendre quelques minutes (c'est plus long à écrire qu'à trouver je crois )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Finalement, c'est meme encore plus simple que ce que je pensais, il y à pas bessoin d'utiliser des séries de fourier (enfin... disont que c'est elles qui donnent l'idée d'introduire les fonction harmonique sur le disque valant exp(i.n.theta) sur le bord...


Les fonction de Grenn du disque, sont les fonction G(theta,z) telle que pour tous u fonction harmonique (ou encore holomorphe) sur le disque, u(z) = intégral de G(theta,z).u(exp(i.theta)) entre 0 et 2Pi

appliquons cela aux fonction z->z^n si n>0
intégral G(theta,z).exp(i.n.theta) = z^n

et aux fonction conj(z)^(-n) si n<0 :
intégral G(theta,z).exp(i.n.theta) = conj(z)^(-n)

et enfin à la fonction constante =1 :
intégral G(theta,z) =1

on peut donc calculer les coeficient de fourier de la fonction theta -> G(theta,z) :

Cn(z) =(1/2Pi) intégral de G(theta,z)*exp(i.n.theta) = z^n/(2Pi) dès que n>0
Cn(z) =1/2Pi si n=0
Cn(z) = conj(z)^(-n)/2Pi si n<0

la série est de fourier est donc normalement convergente dès que que |z|<1 et donc G(theta,z) est somme de sa série de fourier.

2Pi . G(theta,z) = 1+somme pour n>0 des z^n.exp(-i.n.theta) + somme pour n>0 des conj(z)^n.exp(i.n.theta) = 1+2Re(somme pour n>0 des z^n.exp(-in.theta) = 1+ 2Re( z.exp(-i.theta)/(1-z.exp(-itheta)))


Je te laisse vérifier terminer et vérifier les calcules...

[invitec77afd19]

ok merci pour ton aide
moi je trouve ,en partant de l'équation de Laplace
G(r) =-1/(4*pi*r) avec r les coordonnées (x,y)

Par conséquent, grace à ça, je multiplis la fonction de Green par le flux du champ magnétique et je trouve le potentiel electrique en un point du cercle...

Ce qui permet de continuer mon étude

Tu en pense koi Ksilver?

[invite4ef352d8]

Euh attend une seconde, j'ai l'impression que c'est pas la meme chose qu'on apelle fonction de green :S

enfin je comprend pas ce que tu veux dire par G(r)=1/(4Pi.r)