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petit problème pour montrer que c'est vrai



  1. #1
    cindy06

    petit problème pour montrer que c'est vrai


    ------

    Bonjour
    voila j'ai une suite un définit par u1=1/2 et un+1=(1+un^2)/2 , vn=1-un et je sais 1/2<=vn<0 et je dois montrer que 1/vn >=(n+3)/2 , 1/(vn+1)-1/vn =1/(2-vn) et j'ai comme petite indication calculer pour n>=2 somme de k=1 à (n-1) 1/(vk+1) - 1/vk mais voila j'y arrive pas si quelqu'un pouvait me donner une autre piste merci beaucoup et bon, week end a tous

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Colas

    Re : petit problème pour montrer que c'est vrai

    "1/2<=vn<0" hum

    Pour montrer que 1/(vn+1)-1/vn =1/(2-vn) , il suffit de remplacer les v_n par des u_n et de réduire au même dénominateur. Au numérateur on obtient v_n - v_(n+1) = u_(n+1)- u_n = (u_n -1)² /2
    Au dénominateur : v_(n+1)*v_n = (1-u_n)(1-u_(n+1)) En simplifiant par 1-u_n la fraction devient :
    (1- u_n) / [ 2*(1-u_(n+1)) ] = (1- u_n) / (1-(u_n)²) = 1/(1+u_n) = 1/(2-v_n)

    '1/vn >=(n+3)/2" je dirais une récurrence mais avec 1/2<=vn<0 ce n'est pas évident je pense

  4. #3
    cindy06

    Re : petit problème pour montrer que c'est vrai

    lol je viens de m'apercevoir que j'ai oublié le "avec" avant 1/(vn+1)-1/vn =1/(2-vn) parce que ça j'ai su le faire quand meme mais ce que je dois montrer est 1/vn >=(n+3)/2 . il y a une petite indication avec est c'est calculer pour n>=2 somme de k=1 à (n-1) 1/(vk+1) - 1/vk

  5. #4
    Colas

    Re : petit problème pour montrer que c'est vrai

    0< v_k <= 1/2 contrairement à ce que tu as marqué

    sum (1/(v_(k+1)-v_k) k=1..n-1 est une somme téléscopique (les termes s'annulent 2 à 2, il suffit d'écrire les premiers termes pour le voir) et on a sum (1/(v_(k+1)-v_k) k=1..n-1 = 1/v_n - 1/v_1 = 1/v_n - 2

    comme 1/(vn+1)-1/vn =1/(2-vn) , on a donc 1/v_n = 2+ sum (1/(2-v_k) ) k=1..n-1
    or 0< v_k <= 1/2 => 1/(2-v_k) > 1/2 => sum (1/(2-v_k) ) k=1..n-1 > (n-1)/2

    donc 1/v_n > (n-1)/2 +2 = (n-3)/2

  6. #5
    cindy06

    Re : petit problème pour montrer que c'est vrai

    merci bcp!!!!

  7. A voir en vidéo sur Futura

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