Irrationalité de racine 5

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaye depuis quelques jours de comprendre une démonstration géométrique de l'irrationalité de mais sans succès, la démonstration étant tellement peu détaillée, la voici :

(elle provient du livre introduction à la théorie des nombres de Hardy et Wright)

Nous raisonnons en termes de :



Alors x² = 1 - x

Géométriquement, si AB = 1, AC = x, nous avons :

AC² = AB.CB

et le segment AB est partagé en "section dorée" par C. Ces relations sont fondamentales pour la construction du pentagone régulier inscrit dans un cercle.

Si nous divisons 1 par x en prenant le plus grand quotient entier possible, à savoir 1, le reste est égal à 1 - x = x². En divisant x par x², le quotient est encore 1 et le reste est égal à x - x² = x³.
Nous divisons ensuite x² par x³, et ainsi de suite, indéfiniment ; à chaque étape les rapports entre le dividende et le diviseur ou le reste sont les mêmes.
Géométriquement, si nous prenons CC1 égal et opposé à CB, alors CA est partage par C1 dans le même rapport que AB par C, ie en section dorée; si nous prenons C1C2 égal et opposé à C1A, alors C1C est partagé par C2 en section dorée; et ainsi de suite.
Puisqu'a chaque étape le segment est divisé dans les mêmes proportions, le processus ne s'arrêtera jamais.

Il est facile de voir que ceci contredit l'hypothèse de la rationnalité de x. Si x est rationnel, alors AB et AC sont des multiples entiers d'une même longueur . Il en est de même pour :

C1C = CB = AB - AC,
C1C2 = AC1 = AC - C1C,
...

ie de tous les segments de la figure. Nous pouvons donc construire une suite infiniment décroissante de multiple entiers de delta, et ceci est évidemment impossible.

Je suis complètement perdu pour tout ce qui est en gras.

- les rapports entre le dividende et le diviseur ou le reste sont les mêmes.
---> qu'est ce que ça peut bien vouloir dire ?

que dividende/diviseur = dividende/reste à chaque étape ?

- en section dorée
---> Signification exacte ?

Est-ce que c'est bien, comme Flyingsquirrel me l'a fait remarquer, que X1/Y est égal au nombre d'or ou X1 désigne la plus petit section du segment ?

Dans l'affirmative comment déduit t'il que "Géométriquement, si nous prenons CC1 égal et opposé à CB, alors CA est partage par C1 dans le même rapport que AB par C, ie en section dorée" ?

- Si x est rationnel, alors AB et AC sont des multiples entiers d'une même longueur
---> Qu'est ce qu'une longueur ?? Un nombre rationnel j'imagine ...

Si quelqu'un peut m'aider à comprendre ce raisonnement ça serait bien.
Honnêtement, je ne sais pas si le livre a été mal traduit ou quoi mais je trouve ça très mal rédigé comme démonstration.

merci
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[Deedee81]

Bonjour,

Honnêtement, je ne sais pas si le livre a été mal traduit ou quoi mais je trouve ça très mal rédigé comme démonstration.

Je trouve aussi. Même après l'avoir lu deux fois j'ai encore du mal.

Franchement, j'aurais fait comme pour la racine carrée de 2 :
Soit une fraction irréductible sqrt(5)=p/q
Donc 5=p²/q²
Donc p²=5.q²
Donc p est divisible par 5.
Soit p=5.p'
Donc 5=25p'²/q²
Donc q²=5p'²
=> q divisible par 5
Donc la fraction n'est pas irréductible et donc sqrt(5) n'est pas rationnel.

Ca se généralise à tout carré non parfait, et en tenant compte de la décomposition en nombre premiers, assez facilement.

[invitebe0cd90e]

C'est vrai que c'est pas clair. Evidemment il y a plus simple comme demonstration, j'ai l'impression que c'est plus une démo "distrayante" qui utilise le fait que est un genre de nombre d'or (le "vrai" nombre d'or est ) pour construire un genre de spirale infinie qui prouve l'irrationalité... Ca pourrait etre joli si c'etait un peu plus clair !

[Médiat]

C'est vrai que c'est pas clair. Evidemment il y a plus simple comme demonstration, j'ai l'impression que c'est plus une démo "distrayante" qui utilise le fait que est un genre de nombre d'or (le "vrai" nombre d'or est ) pour construire un genre de spirale infinie qui prouve l'irrationalité... Ca pourrait etre joli si c'etait un peu plus clair !

En fait
.

Supputation de ma part : la volonté de trouver une démonstration géométrique est peut-être motivée par l'envie de se rapprocher des moyens des débuts de la géométrie (là où la notion d'incommensurable est née).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

merci pour vos réponse je vais regarder ça maintenant.

Je voudrais juste préciser le contexte dans lequel les auteurs du livre donnent la démonstration.

Après avoir prouvé le théorème (dont le résultat ci dessus en découle comme cas particulier) :

Si x est racine d'une équation x^m + c₁x^m-1 + ... + c_m = 0 a coefficients entiers dont le premier est égal à l'unité, alors x est soit entier soit irrationnel.

l'auteur pose la question de savoir si et quand les mathématiciens grecs ont essayés de généraliser la preuve de l'irrationalité de
Il semblerait qu'un certain Theodorus l'ai fait jusque avant de s'arrêter, mais on ne connait pas les démonstrations en question.

Un mathématicien du nom de Zeuthen a suggèrer des démonstrations géométriques du même style que celle ci dessus, donnée par les auteurs à titre d'exemple, qui auraient pu (semble-t'il) avoir été découvertes par Théodorus.

[inviteaf1870ed]

Ton théorème découle du suivant :
Si un nombre rationnel p/q (avec p et q premiers entre eux) est solution de l'équation à coefficients entiers

a_nXⁿ+a_n-1X^n-1+....+a₀=0

alors q divise a_n et p divise a₀

[invite986312212]

l'auteur pose la question de savoir si et quand les mathématiciens grecs ont essayés de généraliser la preuve de l'irrationalité de
Il semblerait qu'un certain Theodorus l'ai fait jusque avant de s'arrêter, mais on ne connait pas les démonstrations en question.

je te conseille la lecture du livre suivant: "Euclid - the creation of mathematics" de Benno Artmann.

[Bleyblue]

merci
Mais il y a déja tellement de livres que j'aimerais lire que je me demande comment j'arriverai au bout